długość łuku).

(2) Parametr ten oznacza się zwyczajowo literą Wielkość jest wtedy różniczkową długością łuku, związaną z przemieszczeniem się wzdłuż krzywej z położenia

do położenia

(3) Wektor przemieszczenia wynosi

(4) Długość tego wektora jest równa kwadratowi różniczki długości łuku

którą w przestrzeniach w ogólności nieeuklidesowych oblicza się ją ze wzoru

gdzie – tensor metryczny w punkcie

Wektor styczny do krzywej. Prędkość Jeżeli krzywa jest zadana za pomocą parametru naturalnego, to wektor styczny do krzywej jest równy pochodnej wektora rodzącego krzywej po parametrze, tj.

przy czym

– składowa -ta wektora prędkości.

Twierdzenie: Długość wektora stycznego jest równa jedności, tj.

Dowód:

Do wzoru na długość wektora prędkości wstawiamy wzory na jego składowe

Korzystamy teraz ze wzoru na kwadrat różniczki i skracamy wyrażenia pod pierwiastkiem: cnd.

Definicja: Wektor styczny do krzywej wyżej zdefiniowany nazywa się prędkością.

Uwagi:

1) Wektor prędkości jest bezwymiarowy, gdyż zarówno różniczka współrzędnej, jak i różniczka interwału mają wymiar przestrzenny.