Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa, na której zdefiniowano iloczyn skalarny (dokładniej: pseudoskalarny), rozważana w fizyce i matematyce. Przestrzeń ta traktuje czas jako jeden z wymiarów czterowymiarowej przestrzeni, w którą włącza także trzy wymiary trójwymiarowej przestrzeni fizycznej. Z punktu widzenia geometrii czasoprzestrzeń Minkowskiego jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoeuklidesową, w której nie są spełnione prawa geometrii euklidesowej.
Powstały stąd formalizm matematyczny umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy, niezależny od wyboru inercjalnego układu współrzędnych (dokładniej omówiono to niżej).
Nazwę czasoprzestrzeni nadano na cześć niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego, który opisał ją w 1907.
Definicja iloczynu pseudoskalarnego Niech:
(1) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
(2) jest funkcjonałem na takim że dowolnym wektorom przyporządkowuje liczbę
Definicja:
Funkcję nazywa się iloczynem pseudoskalarnym, jeżeli dla dowolnych wektorów spełnia następujące warunki: warunek symetrii
warunek liniowości ze względu na pierwszą i drugą zmienną, tj. gdzie – dowolna liczba rzeczywista, warunek nieosobliwości jeśli to
Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności warunek dodatniej określoności, tj.
(Funkcjonał dodatnio określony, spełniający warunki 1 i 2, jest standardowym iloczynem skalarnym, wprowadzanym w przestrzeni Euklidesa).
Definicja czasoprzestrzeni Czasoprzestrzenią Minkowskiego nazywa się parę złożoną z przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych (można przyjąć ), w której zdefiniowany jest iloczyn pseudoskalarny wektorów za pomocą tensora Minkowskiego – jest to tensor metryczny określony jest przez macierz:
taki że:
czyli
gdzie:
przy czym punktami czasoprzestrzeni fizycznej są tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne, które tworzą 4 liczby: czas zajścia zdarzenia i 3 współrzędne miejsca zajścia zdarzenia.
Uwagi:
1) Tensor powyżej zdefiniowany ma sygnaturę
2) Alternatywnie niektórzy definiują tensor z przeciwnymi znakami, czyli o sygnaturze
(Tensor jest równocześnie macierzą Grama tej przestrzeni).
Znaczenie iloczynu pseudoskalarnego Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować pseudonormę wektorów (miarę długości wektorów) oraz pseudometrykę (miarę odległości wektorów w przestrzeni). W ten sposób iloczyn skalarny pozwala zdefiniować wszystkie wielkości geometryczne w czasoprzestrzeni, jak np. długości krzywych, kąty między nimi, pola powierzchni, objętości; dalej – pozwala to definiować operacje na polach wektorowych i ogólnie tensorowych (por. tensor energii-pędu, tensor pola elektromagnetycznego itp.), które są obecne w czasoprzestrzeni.
Długość 4-wektora. Niezmiennik Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować kwadrat długości wektora: Istotne jest to, że definiujemy kwadrat długości wektora, a nie samą długość, gdyż wzór może nie mieć sensu, ponieważ może być ujemne..
W ten sposób czasoprzestrzeń staje się przestrzenią pseudounitarną.
Niezmiennikiem geometrii nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale interwał czasoprzestrzenny: jest to wielkość, która jest niezmiennicza ze względu na transformacje Poincarégo, tzn. nie zmienia się, przy przejściu do innego układu współrzędnych.
Współrzędne w czasoprzestrzeni W czasoprzestrzeni wprowadza się układ współrzędnych ortogonalnych.
Wektory w czasoprzestrzeni nazywa się czterowektorami.
Punkt czasoprzestrzeni utożsamia się z 4-wektorem o czterech współrzędnych W skrócie 4-wektor zapisuje się w postaci gdzie domyślnie
gdzie są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina).
(6) Kwadrat długości dowolnego wektora jest wyrażony wzorem
gdzie jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy (iloczyny pseudoskalarne) dla wektorów jednostkowych
(7) Odległość między dwoma punktami o współrzędnych i określa interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat wynosi
thumb|200px
(8) W jawnej postaci kwadrat długości wektora to
(9) Wektor nazywa się: czasopodobnym, jeżeli przestrzennopodobnym, jeżeli światłopodobnym lub zerowym, jeżeli
(10) W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów zerowych tworzy stożek świetlny: jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, gdzie jest prędkością światła w próżni, poprzez nadanie warunku, iż wartość interwału czasoprzestrzennego wynosi zero (mimo że w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Widoczność obiektu oznacza, że znajduje się on we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.
Grupa transformacji Poincarégo (1) Żąda się, aby odległość punktów w czasoprzestrzeni była niezmiennicza względem transformacji Poincarégo danej wzorem
przy czym w skład transformacji wchodzą:
a) obroty w czasoprzestrzeni, dane za pomocą macierzy obrotu takie że
Zachowanie odległości między punktami w czasoprzestrzeni przy wykonywaniu transformacji Lorentza narzuca warunki
Stąd można znaleźć postać transformacji Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni, zadanych macierzą
b) translacje w przestrzeni, zadane za pomocą wektora przesunięcia takie że
(2) Zbiór transformacji parametryzowany za pomocą macierzy i wektora translacji tworzy grupę Poincarégo. Transformacje Lorentza tworzą grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo. Podobnie translacje tworzą osobną podgrupę. Wszystkie transformacje są ciągłe (tzn. wyrażają się za pomocą parametrów, które należą do zbioru liczb rzeczywistych; np. obrót, translacja wyraża się dowolnymi liczbami rzeczywistymi) i tworzą razem grupę Liego.
Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania układu izolowanego: zachowania czterowektora całkowitego pędu-energii i czterowektora całkowitego momentu pędu.
Co oznacza jawna niezmienniczość równań? Formalizm matematyczny czasoprzestrzeni umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy. Jawność ta wyraża się w tym, że wszystkie wielkości występujące w równaniach maja postać obiektów geometrycznych przestrzeni 4-wymiarowej, tj. są to albo skalary (liczby) albo czterowektory (czyli tensory rzędu 1-go) albo tensory wyższego rzędu, zdefiniowane na przestrzeni 4-wymiarowej.
Jeżeli zapisze się równania np. Maxwella za pomocą tensora pola elektromagnetycznego, to równania te poddane transformacjom z grupy Lorentza (i ogólniej – grupy Poincarégo) przyjmą nową postać, w której pojawią się współrzędne tensorów w nowym układzie współrzędnych. Jednak związki między współrzędnymi będą wyrażały się dokładnie takimi samymi wyrażeniami algebraicznymi, jak pierwotnie. Oznacza to, że nie trzeba już sprawdzać, czy równanie jest niezmiennicze ze względu na te transformacje, jeśli jest zapisane za pomocą tensorów przestrzeni 4-wymiarowej. Taką postać równań nazywa się jawnie niezmienniczą. Oczywiście najpierw dowodzi się, że dany zespół wielkości jest tensorem.
Krzywa w przestrzeni n-wymiarowej Zestawimy najpierw podstawowe wiadomości o krzywych w dowolnych przestrzeniach n-wymiarowych.
Równanie parametryczne krzywej (1) Krzywe w dowolnej przestrzeni -wymiarowej definiuje się za pomocą równań parametrycznych
gdzie – parametr. Jako parametr można wybrać długość mierzoną wzdłuż krzywej (tzw. długość łuku).
(2) Parametr ten oznacza się zwyczajowo literą Wielkość jest wtedy różniczkową długością łuku, związaną z przemieszczeniem się wzdłuż krzywej z położenia
do położenia
(3) Wektor przemieszczenia wynosi
(4) Długość tego wektora jest równa kwadratowi różniczki długości łuku
którą w przestrzeniach w ogólności nieeuklidesowych oblicza się ją ze wzoru
gdzie – tensor metryczny w punkcie
Wektor styczny do krzywej. Prędkość Jeżeli krzywa jest zadana za pomocą parametru naturalnego, to wektor styczny do krzywej jest równy pochodnej wektora rodzącego krzywej po parametrze, tj.
przy czym
– składowa -ta wektora prędkości.
Twierdzenie: Długość wektora stycznego jest równa jedności, tj.
Dowód:
Do wzoru na długość wektora prędkości wstawiamy wzory na jego składowe
Korzystamy teraz ze wzoru na kwadrat różniczki i skracamy wyrażenia pod pierwiastkiem: cnd.
Definicja: Wektor styczny do krzywej wyżej zdefiniowany nazywa się prędkością.
Uwagi:
1) Wektor prędkości jest bezwymiarowy, gdyż zarówno różniczka współrzędnej, jak i różniczka interwału mają wymiar przestrzenny.
2) W szczególności dla przestrzeni 4-wymiarowej, jeżeli jedna ze współrzędnych przestrzeni oznacza czas, to dla ciała poruszającego się wzdłuż krzywej istnieje wyróżniony układ, w którym to ciało spoczywa (układ ten porusza się z tym ciałem), tzn. w tym układzie wszystkie współrzędne ciała są stałe (np. równe zeru), a jedna współrzędna jest proporcjonalna do upływu czasu, mierzonego w wyróżnionym układzie. Można przyjąć, że współrzędna ta jest np. równa prędkości światła mnożonej przez upływ czasu. Wtedy wektor prędkości wyżej zdefiniowany ma sens prędkości fizycznej ciała w czasoprzestrzeni.
Krzywa w czasoprzestrzeni Interwał ds jako różniczkowy parametr naturalny krzywej W czasoprzestrzeni rolę różniczki parametru naturalnego krzywych pełni interwał czasoprzestrzenny ds, tzn. różniczka jest różniczką długości łuku krzywej w czasoprzestrzeni. Jest tak, gdyż różniczka ta nie zmienia się po dokonaniu transformacji Lorentza do innego układu odniesienia, jest więc wielkością geometryczną.
Przy tym można rozważa się nie tylko krzywe, jakie kreślą w czasoprzestrzeni ciała materialne, ale w ogólności dowolne krzywe, łączące punkty w czasoprzestrzeni. Ponadto ciała spoczywające w jakimś układzie też kreślą krzywe w czasoprzestrzeni – jest tak dlatego, że czas zawsze biegnie.
Krzywe w czasoprzestrzeni (1) Ruch ciała w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje krzywa zwana linią świata ciała, gdzie jest parametrem krzywej mierzącym jej długość.
(2) Czteroprędkość wzdłuż dowolnej krzywej w czasoprzestrzeni
W czasoprzestrzeni definiuje się 4-wektor prędkości jako pochodną 4-wektora położenia względem parametru naturalnego s, zgodnie z ogólną zasadą definiowania wektorów stycznych do krzywych
(3) Czteroprędkość ciał obdarzonych masą w czasoprzestrzeni
Dowodzi się, że dla cząstek obdarzonych masą zachodzi związek (patrz: Czas własny)
gdzie:
oraz – wektor prędkości ciała w przestrzeni.
Podstawiając do definicji 4-prędkości wyrażenie i pamiętając, że otrzyma się wzór na 4-prędkość ciała w czasoprzestrzeni w zależności od prędkości ciała w przestrzeni:
(3) Długość 4-wektora prędkości jest jednostkowa, tj.
(4) Wniosek: Dla ciała rzeczywistego, poruszającego się w czasoprzestrzeni, 4-wektor prędkości jest czterowektorem typu czasowego (por. klasyfikacja 4-wektorów powyżej): jest tak, gdyż długość 4-wektora prędkości wynosi 1.
Można to uzasadnić także w inny sposób: wektor jest typu czasowego, gdy długość współrzędnej czasowej jest większa niż długość części przestrzennej 4-wektora prędkości; ze wzoru
wynika, że czyli
oraz
Stąd mamy
gdyż zawsze prędkość ciał jest mniejsza niż prędkość światła
Definicja: Krzywe w czasoprzestrzeni nazywa się krzywymi typu czasowego, gdy 4-wektory prędkości, styczne do trajektorii, są typu czasowego.
Wniosek: Trajektorie ciała rzeczywistych w czasoprzestrzeni są zawsze typu czasowego, gdyż prędkości ciał nie mogą być większe niż prędkość światła.
Długość krzywej w czasoprzestrzeni Długość krzywej dana jest jako całka z przemieszczeń infinitezymalnych wzdłuż krzywej,
gdzie: – punkty początkowy i końcowy krzywej.
Uwagi: