Wówczas jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych. Każda półnorma z rodziny jest funkcją ciągłą. Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej istnieje że dla każdego
Ciąg punktów przestrzeni jest zbieżny do punktu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy
Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych Jeżeli jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm
pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni
Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm Jeżeli jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni a jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja dana wzorem
jest metryką w zbiorze wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny Ponadto jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.
Bibliografia
Linki zewnętrzne Semi-norm, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].
Kategoria:Analiza funkcjonalna