Półnorma (lub seminorma) – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, tj. funkcja gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki

dla wszystkich elementów przestrzeni oraz wszystkich skalarów

Własności Jeżeli jest półnormą w przestrzeni to dla wszystkich dla wszystkich

Ponadto zbiór

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni a zbiór

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

Przykłady Jeżeli jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego jest półnormą. Każda norma jest półnormą.

Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm Jeśli jest przestrzenią liniową, to rodzinę półnorm w przestrzeni nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje półnorma że

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

gdzie jest bazą lokalną przestrzeni złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Twierdzenie o wprowadzaniu topologii Niech będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej oraz dla i

dla

Wówczas jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych. Każda półnorma z rodziny jest funkcją ciągłą. Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej istnieje że dla każdego

Ciąg punktów przestrzeni jest zbieżny do punktu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy

Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych Jeżeli jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni

Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm Jeżeli jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni a jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja dana wzorem

jest metryką w zbiorze wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny Ponadto jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.

Bibliografia

Linki zewnętrzne Semi-norm, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].

Kategoria:Analiza funkcjonalna