zbiór
jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni
Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:
tj.
w sensie notacji wprowadzonej niżej.
Dla przestrzeni liniowo-topologicznych Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech będzie otoczeniem zera w Wówczas zbiór
jest zwarty w *-słabej topologii
Dowód. Dla każdego obraz zawiera się w kole domkniętym
Każdemu funkcjonałowi odpowiada zatem punkt przestrzeni produktowej która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w jest topologią zbieżności punktowej na wystarczy pokazać, że zbiór punktów odpowiadających funkcjonałom z tj. zbiór jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).
Niech będzie siecią elementów z o tej własności, że sieć jest zbieżna punktowo do pewnego Jeżeli są takimi elementami oraz są takimi skalarami, że to
Oznacza to, że odpowiada funkcjonałowi z tj. co dowodzi domkniętości zbioru w
Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-Bourbakiego.