Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu, twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 rokuL. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, „Ann. of Math” (2) 41, (1940), s. 252–267. pierwszy dowód przypadku ogólnego.

Twierdzenie Banacha-Alaoglu Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych Niech będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni tj. zbiór

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

tj.

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech będzie otoczeniem zera w Wówczas zbiór

jest zwarty w *-słabej topologii

Dowód. Dla każdego obraz zawiera się w kole domkniętym

Każdemu funkcjonałowi odpowiada zatem punkt przestrzeni produktowej która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w jest topologią zbieżności punktowej na wystarczy pokazać, że zbiór punktów odpowiadających funkcjonałom z tj. zbiór jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech będzie siecią elementów z o tej własności, że sieć jest zbieżna punktowo do pewnego Jeżeli są takimi elementami oraz są takimi skalarami, że to

Oznacza to, że odpowiada funkcjonałowi z tj. co dowodzi domkniętości zbioru w

Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-Bourbakiego.

Niech będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór złożony z -równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodniliJ.D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134., że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne: twierdzenie Banacha-Alaoglu, BPI: każdy filtr w algebrze Boole’a jest zwarty w ultrafiltrze, twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa, produkt dowolnej rodziny kopii przedziału jest zwarty.

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Banacha-Alaoglu