Badania te doprowadziły do rozważań powiązanych obiektów jak macierze, wyznaczniki czy grupy permutacji. XIX wiek przyniósł też nowe struktury jak kwaterniony, inne i bardziej ogólne wektory, tensory, rozwój algebry Boole’a w elementarnej logice i teorii mnogości oraz arytmetyki modularnej i algebraicznej teorii liczb dzięki rozważaniu liczb całkowitych Gaussa. Wtedy też nazwano własności różnych działań, sformalizowano je i wprowadzono kluczowe pojęcie izomorfizmu, kodyfikujące analogie między strukturami. Przez to algebra stała się nauką znacznie szerszą, badającą między innymi abstrakcyjne grupy i ich szczególne, przemienne przypadki wzbogacone o dodatkowe operacje; przykłady to przestrzenie liniowe i pierścienie, w tym ciała. Przyczyniło się to do redefinicji matematyki, która tym sposobem przestała być nauką wyłącznie o liczbach i figurach.