Zbiór wszystkich macierzy gęstości przestrzeni Hilberta jest oznaczany jako Jest to zbiór wypukły, co oznacza, że każdy operator gęstości może być przedstawiony jako kombinacja wypukła:
gdzie dla każdego oraz
Przedstawienie to jest niejednoznaczne, co oznacza że stan mieszany układu kwantowego może być zrealizowany jako próbka stanów czystych na wiele sposobów.
Stany czyste są punktami ekstremalnymi zbioru macierzy gęstości i jako takie mają jednoznaczne przedstawienie.
Równanie von Neumanna dla macierzy gęstości Tak jak dla funkcji falowych istnieje równanie Schrödingera, również dla macierzy gęstości istnieje odpowiednie równanie zwane równaniem von Neumanna (lub Liouville’a-von Neumanna)
gdzie to komutator hamiltonianu z macierzą gęstości.
Dzięki temu, że powyższe równanie jest liniowe, w wyprowadzeniu można ograniczyć się do stanów czystych.