bazą.
Przykłady Przykład I Wektory i z są liniowo niezależne. Rzeczywiście, niech oraz będą takimi liczbami rzeczywistymi, że
Biorąc każdą współrzędną z osobna, uzyskuje się układ równań z niewiadomymi
którego jedynymi rozwiązaniami są i
Przykład II Niech i niech dane będą następujące elementy z
Wtedy są liniowo niezależne. Rzeczywiście, niech będą takimi elementami że
Ponieważ
zatem dla każdego
Przykład III Niech będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji zmiennej Funkcje i należące do są liniowo niezależne. Istotnie, niech i będą takimi liczbami rzeczywistymi, że
dla wszystkich wartości Należy wykazać, że oraz Aby to wykazać, należy podzielić to równanie przez (które nigdy nie przyjmuje zera) i przenieść pozostały wyraz na drugą stronę, co daje
Innymi słowy funkcja musi być niezależna od co zachodzi tylko, gdy Wynika stąd, że również jest równe zeru.
Przykład IV Podzbiór przestrzeni złożony z wektorów
jest liniowo zależny. Istotnie, należy znaleźć takie liczby rzeczywiste nie wszystkie równe zeru, że
Rozwiązując układ równań
(np.