Śmierć Z wiekiem Gödel popadał w coraz większą paranoję, aż w końcu nabrał przekonania, że zostanie otruty. Nie chciał jeść, jeśli jego żona pierwsza nie spróbowała jego jedzenia. Kiedy zachorowała i musiała przebywać w szpitalu przez dłuższy czas, Gödel przestał jeść i zagłodził się na śmierć.
Dorobek badawczy Twierdzenie o niezupełności Gödel jest najbardziej znany z udowodnienia słynnego twierdzenia o niezupełności.
W roku 1931 opublikował pracę „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I.”, w której wykazał, że w aksjomatycznej niesprzecznej teorii matematycznej, zawierającej pojęcie liczb naturalnych, da się sformułować takie zdanie, którego w ramach tej teorii nie da się ani udowodnić, ani obalić. Zakończyło to definitywnie wieloletnie próby zaksjomatyzowania całej matematyki, gdyż z twierdzenia Gödla wynika wprost, że jest to zadanie niewykonalne. Z twierdzenia tego wynika też, że matematyka nie jest i nie może być nauką zamkniętą i zakończoną, jak niektórzy do tego czasu sądzili.