Szczęsny był jedynym synem wojewody kijowskiego Franciszka Salezego Potockiego (krajczego wielkiego koronnego, od 1756 r. wojewody kijowskiego), i Anny Elżbiety z Potockich (wojewodzianki poznańskiej). Ojciec Szczęsnego dzięki otrzymanemu spadkowi po stryju Stanisławie (zm. 1732), który przekazał mu swoje dobra na Ukrainie oraz małżeństwu z Anną stał się najbogatszym magnatem Rzeczypospolitej.
Szczęsny miał starszą siostrę Mariannę (1743–1770) oraz trzy młodsze: Antoninę (ur. ok. 1754), Pelagię (ur. ok. 1755) i Ludwikę (ur. ok. 1757).
Kształcony był w domu, w rodzinnym Krystynopolu, pod kierunkiem swojej matki. Według wspomnień Leona Potockiego ojciec oddał go na wychowanie Pelagii Potockiej, żonie kasztelana lwowskiego Józefa PotockiegoLeon Potocki: Urywek ze wspomnień pierwszej mojej młodości. Poznań, 1876, s. 18.. Znamienne jest to, że właśnie uczył się w domu, zaś nie uczęszczał do żadnego kolegium jezuickiego czy pijarskiego, co było normą w przypadku młodzieży średnioszlacheckiej i magnackiejJ. Łojek, Dzieje zdrajcy. Szczęsny Potocki, Warszawa 1991, s. 36.. W liście do Ignacego Potockiego (z 1773 r.) wśród przyczyn swoich nieszczęść wymieniał: sposób edukacyi ostry, którą miałem. Wybitny badacz XVIII w.