Gascoigne i jego żona, artystka , mieli troje dzieci. Po przejściu na emeryturę napisał kilka prac z historii astronomii australijskiej. Był także fotografem i asystentem Rosalie, wykorzystując swoje umiejętności techniczne, by jej dzieła sztuki nadawały się do trwałej ekspozycji publicznej.
Młodość Rodzice Gascoigne’a poznali się i pobrali w Levin w Nowej Zelandii tuż przed I wojną światową. Wkrótce przenieśli się do Napier, gdzie w 1915 urodził się Ben. Uczęszczał do Auckland Grammar School, a stypendium do Auckland University College (późniejszy Uniwersytet w Auckland) zdobył jeszcze przed ukończeniem szkoły średniej. Postawiony przed wyborem między historią a naukami ścisłymi, wybrał te drugie, ponieważ silnie się jąkał i sądził, że będzie to dla niego mniejszą przeszkodą. Ukończył studia licencjackie i magisterskie z wyróżnieniem zarówno z matematyki, jak i z fizyki, kończąc je w 1937. Mimo tych osiągnięć nie uważał się za przygotowanego praktycznie. Wspominał: „Wciąż byłem bardzo teoretykiem, bez żadnej fizyki doświadczalnej.