Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne. Jeżeli jest liczbą naturalną, a elementem grupy abelowej w zapisie addytywnym, to można zdefiniować jako (n czynników) oraz W ten sposób staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych W rzeczywistości, moduły nad mogą być utożsamiane z grupami abelowymi. Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych ) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych. Jeżeli są homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma określona „punktowo” wzorem również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli nie jest abelowa). Zbiór wszystkich homomorfizmów grupowych z w sam staje się grupą przemienną. Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych, mają rangę równą jeden. Jeżeli dla każdego zachodzi (rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to jest przemienna.