Lemat Yonedy – podstawowe narzędzie w wielu zagadnieniach teorii kategorii i w jej zastosowaniach do innych dziedzin matematyki, zwłaszcza do geometrii algebraicznej. Lemat ten dotyczy funktorów reprezentowalnych poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami) i opisuje ogólną postać transformacji naturalnych tych funktorów. Stosuje się go m.in. przy zanurzaniu danej kategorii w kategorię funktorów oraz przy pewnych zagadnieniach jednoznacznej faktoryzacjiLematu tego użył w 1954 japoński matematyk i informatyk Nobuo Yoneda (1930–1996) w pracy o homologii modułów. Termin lemat Yonedy wprowadził Saunders Mac Lane po długiej rozmowie z Yonedą na dworcu Gare du Nord w Paryżu ok. 1957 , ..

Sformułowanie lematu Yonedy Załóżmy, że jest kategorią lokalnie małą. Zbiór morfizmów kategorii będziemy oznaczać symbolem Symbolem oznaczymy kowariantny funktor główny, przyporządkowujący każdemu morfizmowi indukowane przekształcenie zbioru w zbiór określone wzorem dla

Lemat YonedyBardziej zaawansowaną postać daje M. Zawadowski, Elementy teorii kategorii, lemat 3.1.. Załóżmy, że jest ustalonym obiektem w jest funktorem kowariantnym, a jest transformacją naturalną funktora w funktor Wówczas istnieje dokładnie jeden element taki, że

gdzie element dany jest wzorem

Odwrotnie, jeśli jest dowolnym funktorem kowariantnym, i określimy element wzorem to wyznacza transformację naturalną Ponadto przyporządkowanie jest wzajemnie jednoznaczne.

left|Proof of Yoneda’s lemma

Na powyższym schemacie diagram zewnętrzny ilustruje złożenia morfizmów (jest przemienny na mocy definicji transformacji naturalnej), a diagram wewnętrzny ilustruje przyporządkowania elementów.

Dowód lematu Yonedy polega na bezpośrednim sprawdzeniu ujawniających się tu zależności.

Kontrawariantna wersja lematu Yonedy dotyczy kontrawariantnego funktora głównego Rozumowania są analogiczne.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].

Kategoria:Teoria kategorii Y