Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – fundamentalny parametr rozkładu zmiennej losowej określający jego położenie centralne. Jest to średnia z wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa, ważona prawdopodobieństwami pojawiania się tych wartości w doświadczeniu losowym. Intuicyjnie reprezentuje ona średni wynik, jakiego można się spodziewać przy wielokrotnym powtarzaniu tego doświadczenia. Jest to jedno z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa.
Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym.
Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna z próby.
Definicja formalna W ogólnym ujęciu teoretycznym, dla zmiennej losowej zdefiniowanej na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w wartość oczekiwana to całka Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa:
Wartość ta istnieje tylko wtedy, gdy całka z modułu zmiennej jest skończona, tj. gdy: . W przeciwnym razie, jak w przypadku rozkładu Cauchy’ego, mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje.
Zmienna dyskretna W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną : .
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Oznaczenia Wartość oczekiwaną najczęściej oznacza się literą E w różnych stylizacjach: lub z różnym zapisem nawiasów: Innym popularnym oznaczeniem jest zaś w fizyce powszechnie używa się oznaczeń i .
Własności Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa to jej wartość oczekiwana wynosi
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
Jeśli istnieją oraz to: gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki), (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki), jeżeli są niezależne, to jeżeli prawie wszędzie, to
W mechanice kwantowej Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten ma postać
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja wynosi
Przypisy
Zobacz też
warunkowa wartość oczekiwana
Bibliografia
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Miary położenia rozkładu Kategoria:Momenty zwykłe