Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.
Definicja thumb|Jeżeli odwzorowuje na to odwzorowuje na
Funkcję nazywamy odwracalną w gdy istnieje funkcja taka, że: dla każdego dla każdego
Innymi słowy jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze i Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do i oznaczamy symbolem
Bezpośrednio z definicji wynika, że jest funkcją odwracalną w wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).
Oznaczenia nie należy mylić z symbolem
Istnienie Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.
Twierdzenie Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.
Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.
Wyznaczanie Wyznaczenie funkcji odwrotnej do danej polega na rozwiązaniu równania
względem niewiadomej Rozwiązanie, czyli
to poszukiwana funkcja odwrotna.
Przykłady thumb|Funkcja ma odwrotną ponieważ odwzorowuje na 3, to przekształca 3 w Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL) Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej. Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem jest funkcja Funkcja nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem dla nie jest funkcją odwrotną do funkcji Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem dla jest ona sama, tzn. (zob. Inwolucje).
Własności Jednoznaczność Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.
Symetria Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do jest to odwrotną do jest funkcja Symbolicznie:
Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:
Odwrotność złożenia thumb|240px|Funkcją odwrotną do jest Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem
Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku i aby odwrócić działanie następującego po należy najpierw odwrócić a następnie odwrócić
Inwolucje Jeżeli jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na jest swoją własną odwrotnością:
Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe Takie funkcje nazywa się inwolucjami.
Zachowywane własności Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca. Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła. Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których w szczególności Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych (o równaniu ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ) względem prostej .
Przypisy
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Funkcja odwrotna, kanał Khan Academy na YouTube, 29 stycznia 2024 [dostęp 2024-07-26]. Paweł Lubowiecki, Odwzorowania cz. III Funkcja odwrotna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07]. [dostęp 2023-10-10]. Inverse function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].