Metryka Kerra – ścisłe, stacjonarne i osiowosymetryczne rozwiązanie równania Einsteina ogólnej teorii względności w próżni opisujące geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się ważkiego ciała. Zostało ono znalezione w 1963 przez Roya P. Kerra, nowozelandzkiego matematykaR.P. Kerr, Phys.Rev.Letters vol. 11(1963), s. 238–239..
Zgodnie z tą metryką obracające się ważkie ciało powinno wykazywać efekt Lense-Thirringa przewidujący, że materia w pobliżu masywnego wirującego obiektu musi się również obracać. Obrót taki nie jest spowodowany przez jakąkolwiek działającą na takie ciała siłą, lecz krzywizną czasoprzestrzeni. Metryka Kerra jest uogólnieniem metryki Schwarzschilda, opisującej geometrię czasoprzestrzeni wokół doskonale sferycznego, nieruchomego i obojętnego elektrycznie ciała. Innym tego typu rozwiązaniem jest odkryta w latach 1916–1918 metryka Reissnera-Nordströma. Metryka ta opisuje geometrię czasoprzestrzeni wokół nieruchomego, sferycznego, ale naładowanego elektrycznie ciała. W 1965 zostało odkryte najogólniejsze spośród tych trzech rozwiązań. Jest to metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się, naładowanego elektrycznie ciała. Relacje między tymi czterema metrykami są przedstawione w poniższej tabelce. Brak obrotu (J = 0) Obrót (J ≠ 0) Brak ładunku (Q = 0) Schwarzschild Kerr Ładunek elektryczny (Q ≠ 0) Reissner-Nordström Kerr-Newman
Metryka Kerra modeluje obiekty astronomiczne posiadające spin i będące źródłem pola grawitacyjnego to znaczy ciała scharakteryzowane przez moment pędu oraz masę. W szczególności na przykład gwiazdy neutronowe i wirujące czarne dziury. Ciała te mają kilka różnych szczególnych powierzchni, na których metryka ma osobliwości.
Historia odkrycia metryki Kerra W 1954 roku A.Z. PietrowA.Z. Petrov, 1954, Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch. Zapiski Kazan Gos. Univ. 144, 55 (English translation Gen. Rel. Grav. 32 (2000) 1665). wprowadza klasyfikację wszystkich możliwych symetrii tensora Weyla dla każdego zdarzenia w rozmaitości Lorentza. W 1956 F. Pirani analizuje promieniowanie grawitacyjne. Klasyfikacja Pietrowa stanowi podstawę jego artykułu na temat teorii promieniowania grawitacyjnegoF.A.E. Pirani, On the physical significance of the Riemann tensor, Acta Phys. Polon. 15, 389 (1956).F.A.E. Pirani, Invariant formulation of gravitational radiation theory, Phys.Rev. (1957) 105, 1089.. Rok później A. Trautman przedstawił pracę na temat własności tensora Weyla dla promieniowania grawitacyjnegoA. Trautman, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, Bull.Acad.Pol.Sci., Serie sci.math., astr.et phys. VI(1958), s. 407–412..
W 1962 J. Goldberg i R.K. SachsJ.N. Goldberg, R.K. Sachs, A theorem on Petrov Types, Acta Phys. Polon., Suppl. 22 (1962), 13. pokazują, że jeśli tensor metryczny rozmaitości spełnia równanie Einsteina, to tensor krzywizny konforemnej utworzony z jest „algebraicznie specjalny”. Obecnie wiadome jest, że wiele czasoprzestrzeni (jak na przykład czasoprzestrzenie SchwarzschildaK. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech. (1916), s. 189–196.K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech. (1916), s. 424–434., K. GödlaK. Gödel, An example of new type of cosmological solution of Einstein’s field equations of gravitations, Rev. Mod.Phys.21 (1949), s. 447–450., Kerra oraz fale o czołach płaskich i sferycznych) należy do tej klasy. Dla danej metryki na rozmaitości Lorentza można obliczyć tensor Weyla Jeśli tensor Weyla jest algebraicznie specjalny w punkcie to istnieje zbiór kryteriów określający typ Pietrowa w kryteria te znalezione są przez L. Bela w 1962L. Bel, Cah. de Phys. 16(1962)59.L. Bel, Cah. de Phys. n. 138 (1962), s. 59–81.. W 1962 I. Robinson i A. TrautmanI. Robinson, A. Trautman, Some spherical gravitational waves in general relativity, Proc. Roy. Soc. Lond. A (1962), 265, 463.H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, s. 421, . pokazują, że dla każdej przestrzeni Einsteina z zerową kongruencją bez ścinania istnieją współrzędne dla których metryka jest:
gdzie:
jest funkcją – parametr afiniczny.
Jedynym pozostającym równaniem jest:
W 1962 R. Kerr bada strukturę równań Einsteina, stosując metodę tetrad i form różniczkowych, zapisuje on równania krzywizny, stosując zespolone zerowe tetrady i samodualne biwektory, następnie bada warunki ich całkowaniaH. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, s. 407–419, .. W 1963 Kerr decyduje się na szukanie wszystkich obracających się algebraicznie specjalnych czasoprzestrzeni. Takie rozwiązanie równań Einsteina zostaje znalezione przez niego w 1963R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett. 11, (1963), 237.H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, .M. Head: http:// www.listener.co.nz/ issue/ 3359/ features/ 2629/ man_of_mystery.html.R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett.11, (1963), 237..
Czasoprzestrzeń Kerra Niech będzie pewną metryką taką, że:
Zachodzi następujące
Twierdzenie Kerra Jeśli jest stacjonarną, algebraicznie specjalną metryką, lub ogólniej rozwiązaniem następujących równań:
gdzie: funkcje analityczne, funkcje pochodnych parametr, funkcja masy, szczególne rozwiązanie równań
wtedy również taką metryką jest
przy czym dowolna stała,
Twierdzenie 1M. Ludvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, s. 139, . Niech pole Killinga i geodezyjna z wektorem stycznym (afiniczny wektor) który spełnia Wtedy jest stałe wzdłuż
Twierdzenie 2 Jeżeli funkcje są stałe wzdłuż kongruencji to istnieje funkcja taka, że:
przy czym granica jest brana wzdłuż kongruencjiM. Ludvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, s. 141, ..
Twierdzenie Robinsona Stacjonarne, osiowosymetryczne, asymptotycznie płaskie rozwiązania równań Einsteina w próżni, które zawierają gładki, wypukły horyzont, oraz nie posiadają żadnej osobliwości na zewnątrz horyzontu, są jednoznacznie określone przez masę i moment pędu przy czym D.C. Robinson, 1975, Phys.Rev.Lett. 34, s. 901..
Twierdzenie Hawkinga Jeśli czasoprzestrzeń jest stacjonarna, lecz nie statyczna w sąsiedztwie oraz wtedy wektor Killinga, typu czasowego w nieskończoności, staje się typu przestrzennego blisko horyzontu zdarzeńS.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1973, , s. 326.M. Demiański, Relatyvistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, s. 182, ..
Definicja czasoprzestrzeni Kerra Czasoprzestrzeń asymptotycznie płaska, stacjonarna, osiowosymetryczna i TP-niezmiennicza nazywa się czasoprzestrzenią Kerra.
Czasoprzestrzeń Kerra posiada tensor KillingaLudvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, La Relativite generale, R. Penrose preface, Dunod Paris, 2005, s. 179, . taki, że:
Istnienie tego tensora ułatwia obliczanie orbit w czasoprzestrzeni Kerra.
Różne postacie metryki Kerra Metryka Kerra we współrzędnych ma postać:
Metryka (9) ma trzy wyrażenia pozadiagonalne.
Wektory i w tych współrzędnych są wektorami Killinga, gdyż metryka (9), nie zależy ani od ani od Każda kombinacja liniowa tych wektorów jest też wektorem Killinga. Składowe: tej metryki posiadają nieciągłość w
Skalar Kretschmanna ( tensor krzywizny Riemanna), będący niezmiennikiem krzywiznowym jest
co gwarantuje, że nieciągłość położona w dla jest prawdziwą osobliwością nieusuwalną. Element liniowy (3) można przekształcić otrzymując:
to znaczy rozważany w twierdzeniu Kerra element liniowy.
Dla metryka sprowadza się do metryki Schwarzschilda.
Współrzędne kartezjańskie Kerra-Schilda Transformacja współrzędnych
prowadzi do metryki Kerra-Schilda:
gdzie (odległością od początku układu współrzędnych Minkowskiego) wyznacza się z
Dla powierzchnie są i elipsoidami obrotowymi, w płaszczyźnie takimi, że:
które dla stają się dyskiem Pierścień który jest brzegiem dysku, jest osobliwością nieusuwalna, gdyż skalar Kretschmanna jest tutaj nieskończony.Natomiast Tę zmianę współrzędnych można również zapisać jako:
Istnieje również wektor Killinga typu czasowego wektor Killinga związany z obrotami ma postać
Gdy metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Minkowskiego. Gdy metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Schwarzschilda.
Współrzędne Boyera-Lindquista Następująca transformacja współrzędnych Kerra
oraz
prowadzi do metryki postaci:
We współrzędnych Boyera-Lindquista istnieje tylko jeden pozadiagonalny element w metryce. W metryce tej istnieje czasowy wektor Killinga oraz obrotowy wektor Killinga Co więcej, składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli dwa wektory Killinga to zachodzi:
gdzie oznacza Iloczyn skalarny.
Składowe metryki są rozbieżne dla składowa jest rozbieżna dła Skalar Kretschmanna jest identyczny jak dla metryki we współrzędnych Kerra. Wskazując, że prawdziwa osobliwość jest położona na pierścieniu
Dla metryka przybiera postać:
Skąd wynika, że jest masą i jest momentem kątowym. Stosując współrzędne kartezjańskie, otrzymuje się w tym przybliżeniu metrykę:
identyczną z metryką Lensa-ThirringaB. Léauté, Etude de la métrique de Kerr, Ann.I.H.P., sec. A, tome 8, no.1 (1968), s. 93–115.
gdzie odpowiednio moment bezwładności i prędkość kątowa ciała.
Gdy i składowa znika dla Gdy zaś składowa jest rozbieżna. Składowe metryki Kerra wyrażone we współrzędnych Boyera-Lindquista są niezależne od czasu i kąta obrotu Stąd geometria czasoprzestrzeni jest stacjonarna i osiowosymetryczna. Składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli dwa wektory Killinga to zachodzi:
gdzie oznacza Iloczyn skalarny.
Własności geometrii czasoprzestrzeni Kerra Czasoprzestrzeń Kerra charakteryzuje się pewnymi szczególnymi własnościami, które nie występują w czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Rozwiązanie Kerra jest uogólnieniem rozwiązania Schwarzschilda. W granicy, gdy (granica Schwarzschilda), rozwiązanie to przechodzi w rozwiązanie Schwarzschilda. Czasoprzestrzeń wokół obracającego się wokół własnej osi masywnego obiektu opisuje metryka Kerra. Ze względu na parametr należy rozważać trzy ważne przypadki:
– przypadek ekstremalny, – goła osobliwość. Istnieje kilka ważnych powierzchni, które otaczają masywny obracający się obiekt.
Horyzont zdarzeń