Własność Kadieca (własność Kadieca-Klee) – własność normy w przestrzeniach Banacha. Norma w przestrzeni Banacha X ma własność Kadieca (albo jest normą Kadieca), gdy topologie na sferze jednostkowej
dziedziczone odpowiednio z topologii wyznaczonej przez normę oraz topologii słabej w pokrywają się. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematków Michaiła Kadieca i Victora Klee.
Czasami użyteczne może być studiowanie pewnych własności normy w przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni Banacha X. Wprowadza się w związku z tym następujące definicjeJ. Borwein, J. Vanderwerff, Dual Kadec-Klee norms and the relationships between Wijsman, slice, and Mosco convergence, „Michigan Math. J.” Volume 41, Issue 2 (1994), s. 371–387. .: Norma w ma własność w*-Kadieca, gdy każdy ciąg uogólniony punktów przestrzeni *-słabo zbieżny do w ten sposób, że jest również zbieżny w sensie normy. Norma w ma ciągową własność w*-Kadieca, gdy w powyższej definicji słowo ciąg uogólniony zastąpić słowem ciąg. Norma w ma własność w*-τ-Kadieca (ciągową własność w*-τ-Kadieca), gdy w definicji 1. zastąpić zbieżność ciągu uogólnionego w sensie normy zbieżnością w sensie topologii Mackeya (i ciąg uogólniony, ciągiem). Pojęcia zdefiniowane w punkcie 3. są istotnie różne. Odpowiedni kontrprzykład został podany w przypadku niestandardowej normy w przestrzeni
Własności Niech X będzie przestrzenią Banacha. Jeśli w przestrzeni X istnieje norma Kadieca równoważna wyjściowej normie, to rodziny zbiorów borelowskich wyznaczonych przez zbiory otwarte i słabo otwarte (*-słabo otwarte) pokrywają sięG.A. Edgar, Measurability in a Banach space I. Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), s. 663–667.. Jeśli w przestrzeni X istnieje norma Kadieca równoważna wyjściowej normie, to X jest borelowskim podzbiorem przestrzeni G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), s. 559–579. (X utożsamiamy ze swoim obrazem poprzez odwzorowanie kanoniczne w – por. przestrzeń refleksywna). Następujące warunki są parami równoważne: Norma w ma własność w*-Kadieca. Dla każdej ośrodkowej podprzestrzeni liniowej norma w ma ciągową własność w*-Kadieca. Dla każdej ośrodkowej podprzestrzeni liniowej zbieżność w sensie Wijsmana ciągu punktów przestrzeni pociąga zbieżność w sensie Mosco. W każdej podprzestrzeni liniowej przestrzeni X topologia Wijsmana pokrywa się z topologią Mosco.
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Banacha