Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.

Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii, fizyce, chemii, informatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja).

Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymi, rzeczywistymi czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadku pierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.

Motywacje thumb|Rozwiązaniem układu równań oraz jest para uporządkowana gdyż podstawienie do równań poprzednika tej pary za i jej następnika za da dwie tożsamości

W geometrii euklidesowej można rozpatrywać miejsca geometryczne wyznaczone przez dane dwie proste na płaszczyźnie – mogą one wyznaczać prostą, punkt lub nie wyznaczać żadnego miejsca geometrycznego; odpowiada im odpowiednio nieskończony zbiór elementów, zbiór złożony z pojedynczego elementu lub zbiór pusty. Wprowadzenie na płaszczyźnie układu współrzędnych umożliwia algebraizację tego zadania: proste zadane są za pomocą równań liniowych, zaś miejsce geometryczne wyznaczone przez te proste odpowiada zbiorowi elementów spełniających wszystkie równania jednocześnie (pełną interpretację geometryczną można znaleźć w sekcji Uogólnienia).

Jeśli w układzie współrzędnych kartezjańskich proste zadane są równaniami

oraz

to ich jedyny punkt wspólny ma współrzędne co łatwo sprawdzić wprost:

To, że jest to jedyny punkt, wynika z faktu, iż proste te nie są równoległe (argument formalny podano dalej). Zwyczajowo równania prostych zapisuje się bezpośrednio jedno pod drugim i spina klamrą:

nazywając je układem równań liniowych, zaś zbiór elementów spełniających każde równanie z osobna (odpowiadający punktom wspólnym prostych) – jego rozwiązaniami.

Postać i zapis thumb|Układ równań liniowych o trzech zmiennych określa zbiór płaszczyzn – dowolny ich punkt przecięcia (o ile istnieje) jest rozwiązaniem układu

Niech oznacza układ równań liniowych o niewiadomych, tzn.

Niech oraz Wielkości nazywa się niewiadomymi (lub zmiennymi), liczby nazywa się współczynnikami, zaś elementy to wyrazy wolne. Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru; inaczej mówiąc, wszystkie równania jednorodnego układu równań liniowych są jednorodne.

Układ można zapisać jako równanie wektorowe

które można przedstawić w postaci

dzięki czemu każda niewiadoma może być postrzegana jako współczynnik kombinacji liniowej wektorów tzn.

gdzie nazywa się w tym kontekście wektorem wyrazów wolnych, zaś to wektor zmiennych (zob. uogólnienia).

Korzystając z notacji macierzowej, układ można przedstawić w postaci

co, przy pomocy standardowego mnożenia macierzy, można zapisać w formie

Innymi słowy dowolny układ można traktować jak macierzowe równanie liniowe

gdzie jest macierzą typu zaś oraz to macierze odpowiednio typów oraz Macierz nazywa się macierzą główną układu Jeśli macierz układu jest kwadratowa, tzn. to sam układ również nazywa się czasem kwadratowym, jeśli jest ona prostokątna, czyli to układ także nazywa się niekiedy prostokątnym.

Ponieważ macierz w powyższym równaniu macierzowym zachowuje się przy operacjach elementarnych na wierszach (każde równanie jest kombinacją liniową elementów ), to wygodne jest pominięcie go w zapisie i rozpatrywanie macierzy rozszerzonej bądź uzupełnionej układu złożonej z elementów macierzy oraz w której wyrazy oddziela się zwykle optycznie od wyrazów pionową kreską:

Macierz może być traktowana jako przypadek szczególny macierzy rozszerzonej, w której wyrazy są równe zeru.

Dowolny układ można zapisać w postaci

co w zapisie macierzowym można ująć następująco:

W ten sposób układ w postaci można zapisać jako

gdzie jest macierzą typu zaś jest macierzą typu a jest macierzą zerową typu Macierz główna układu jest więc formalnie macierzą rozszerzoną układu Oznacza to, że układ niejednorodny zmiennych można sprowadzić do układu jednorodnego zmiennych, przy czym jedna z nich jest ustalona (zob. uogólnienia).

Rozwiązania thumb|Równania oraz tworzą układ sprzeczny

Rozwiązaniem nazywa się dowolny ciąg liczb który po podstawieniu za będzie spełniał każde z równań Układ, który nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym; jeżeli zbiór rozwiązań układu jest niepusty, to nazywa się go niesprzecznym. Układ niesprzeczny, który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, nazywa się oznaczonym; układy o więcej niż jednym rozwiązaniu nazywa się nieoznaczonymi – w przypadku układów liniowych nad ciałami nieskończonymi (takimi jak liczby wymierne, liczby rzeczywiste czy liczby zespolone) oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Wskazówkę co do ogólnej liczby rozwiązań układu daje już sama jego postać: układ niedookreślony, który ma mniej równań niż niewiadomych, zwykle jest nieoznaczony; układ nadokreślony mający więcej równań niż niewiadomych, zazwyczaj jest sprzeczny; układ, który ma tyle równań co niewiadomych, często ma jedno rozwiązanie.

Przypadki te obrazują następujące wykresy dla układów równań liniowych dwóch zmiennych: {| border=0 cellpadding=5 |- |width="150px" align="center"| 120px |width="150px" align="center"| 120px |width="150px" align="center"| 120px |- |align="center"| Jedno równanie |align="center"| Dwa równania |align="center"| Trzy równania

Operacje elementarne

Podstawową metodą rozwiązywania układów równań jest przekształcanie danego układu w inny, który ma ten sam zbiór rozwiązań – układy takie nazywa się równoważnymi. Można wyróżnić trzy operacje elementarne na wierszach przekształcające dany układ w układ do niego równoważny: dodanie do równania innego równania pomnożonego przez liczbę, zamiana dwóch równań miejscami, pomnożenie równania przez liczbę różną od zera.

Powszechnie stosowanymi metodami rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą wspomnianych operacji elementarnych są: metoda eliminacji Gaussa, w której układ przekształca się do równoważnego z nim układu równań z rosnącą liczbą zmiennych; metoda eliminacji Gaussa-Jordana, w której układ przekształca się dalej (poprzez kolejne podstawienia równań z mniejszą liczbą zmiennych do tych z większą) do równoważnego z nim układu równań liniowych wiążących bezpośrednio każdą zmienną z pewną wartością.

Oba algorytmy opisano w przypadku, gdy układ jest oznaczony. Jeśli układ jest sprzeczny, to uzyskuje się (co najmniej jedno) równanie sprzeczne, które mówi o sprzeczności całego układu. Jeśli układ jest nieoznaczony, to niektóre zmienne przenosi się do prawych części równań i rozwiązanie podaje się w postaci wyrażania jednych zmiennych przez inne (zob. też następną podsekcję). Metody te w zapisie macierzowym odpowiadają (zwykle) najefektywniejszym metodom przekształcania macierzy głównej (w przypadku jednorodnym) lub rozszerzonej (w przypadku niejednorodnym) układu do wierszowo z nią równoważnej macierzy schodkowej w metodzie Gaussa i macierzy schodkowej zredukowanej w metodzie Gaussa-Jordana.

Opis ogólny i zależność

thumb|Równania oraz nie są liniowo niezależne Jeżeli układ ma więcej niż jedno rozwiązanie, to można je scharakteryzować, podając tzw. rozwiązanie ogólne układu, będące w istocie układem równań w prostej postaci – w przypadku, jeśli układ ma jedno rozwiązanie, to rozwiązanie można odczytać wprost z rozwiązania ogólnego. Układ

gdzie a zmienne nie występują po prawej stronie równań (tzn. dla ) zadaje rozwiązanie ogólne układu (krótko: jest rozwiązaniem ogólnym układu ). Zmienne nazywa się wtedy zależnymi, a pozostałe nazywa się wówczas zmiennymi niezależnymi (albo parametrami).

Równania w układzie liniowym nazywa się niezależnymi, jeśli żadne z nich nie może być uzyskane z innych za pomocą operacji elementarnych. Innymi słowy każde z nich zawiera nową informację o zmiennych i usunięcie któregokolwiek z nich powiększa liczbę rozwiązań; w przypadku równań liniowych niezależność ta nazywana jest niezależnością liniową (zob. charakteryzacja).

Wzory Cramera

Jeśli macierz główna układu jest kwadratowa (układ jest kwadratowy), to oznaczoność układu jest równoważna odwracalności jego macierzy głównej. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, tzn. ma niezerowy wyznacznik. Wówczas, mnożąc z lewej strony (w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne) równanie

przez macierz czyli otrzymuje się rozwiązanie

Macierz odwrotną do można wyznaczyć w dowolny sposób, np. korzystając z operacji elementarnych bądź obliczając iloraz macierzy dołączonej przez wyznacznik macierzy Pierwsza metoda odpowiada w istocie metodzie eliminacji Gaussa-Jordana, druga z kolei jest wnioskiem z twierdzenia Cramera:

wtedy też, na mocy rozwinięcia Laplace’a, wzory na elementy powyższej macierzy, nazywane właśnie wzorami Cramera, dane są jako ilorazy wyznaczników macierzy przez wyznacznik macierzy głównej układu

gdzie oznacza macierz powstałą z poprzez zamianę elementów -tej kolumny elementami macierzy wyrazów wolnych o ile tylko nie jest równy zeru.

Jak już wspomniano, układ jest oznaczony, gdy macierz główna jest odwracalna. Jeżeli wyznacznik macierzy głównej jest zerowy, to układ jest sprzeczny, gdy którykolwiek z wyznaczników jest niezerowy. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeśli wszystkie wyznaczniki są zerowe, to układ nie musi być nieoznaczony (wiadomo jedynie, że nie jest oznaczony, czyli może być tak sprzeczny, jak i nieoznaczony).

Stosowanie wzorów Cramera do rozwiązywania „konkretnych” układów wymaga z reguły więcej obliczeń niż stosowanie metody Gaussa, jednak metoda Cramera bywa dogodniejsza w rozważaniach teoretycznych.

Inne metody Układy trzech czy nawet czterech zmiennych łatwo rozwiązać ręcznie (najlepiej metodą Gaussa); do większych stosuje się często komputery. Standardowe podejście opiera się na metodzie eliminacji Gaussa. Bardzo ważne jest unikanie dzielenia przez małe liczby, które może prowadzić do błędów zaokrągleń – można to osiągnąć poprzez zmianę kolejności równań (druga operacja elementarna). Ponadto w szczególnym przypadku, gdy dane układy mają tę samą macierz główną, lecz różne macierze rozszerzone (tzn. układy mają te same współczynniki, lecz różne wyrazy wolne), to pomocne okazuje się wyznaczenie rozkładu LU macierzy głównej.

Często możliwe jest wykorzystanie szczególnej postaci macierzy głównej układu do uzyskania szybszych bądź dokładniejszych algorytmów. Przykładowo układy z symetrycznymi i dodatnio określonymi macierzami głównymi mogą być rozwiązane dużo szybciej za pomocą rozkładu Cholesky’ego. Rekursja Levinsona jest z kolei szybką metodą rozwiązywania układów opisanych macierzą Toeplitza. Istnieją także specjalne metody dla macierzy z wieloma zerami (tzw. macierzy rzadkich), które pojawiają się często w zastosowaniach matematyki.

W zupełnie inny sposób podchodzi się do bardzo dużych układów, których rozwiązanie kosztowałoby zbyt dużo czasu lub pamięci. Idea polega na rozpoczęciu od wstępnego przybliżenia rozwiązania (które wcale nie musi być dokładne) i stopniowym jego poprawianiu. Jeśli jest ono wystarczająco dokładne, to właśnie ono przyjmowane jest jako rozwiązanie układu. Tego rodzaju podejście prowadzi do metod iteracyjnych.

Charakteryzacja

thumb|Zbiór rozwiązań dwóch równań liniowych o trzech zmiennych zwykle tworzy prostą (przestrzeń jednowymiarową)