Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.
Niektóre funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością.
Funkcje związane z Symbol Nazwa Komentarz funkcją Γ funkcja gamma Eulera uogólnienie silni logarytmiczna pochodna funkcji gamma zwana również funkcją digamma funkcja poligamma funkcja beta Eulera powiązana ze współczynnikami dwumianowymi funkcją błędu i całkami wykładniczymi funkcja błędu Gaussa ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa uzupełniająca funkcja błędu zespolona funkcja błędu całki Fresnela stosowane w optyce funkcja całkowo-wykładnicza Logarytm całkowy sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny z funkcją ζ funkcja dzeta Riemanna ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna funkcja eta Dirichleta polilogarytmy całkami i funkcjami eliptycznymi całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy całki eliptyczne zupełne I i II stopnia otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2 funkcje eliptyczne Jacobiego odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy funkcja hipergeometryczna za jej pomocą można łatwo wyrazić m.in. całki eliptyczne wielomianami ortogonalnymi wielomiany Legendre’a rozwiązania równania Legendre’a stowarzyszone wielomiany Legendre’a wielomiany Laguerre’a występują m.in. w mechanice kwantowej stowarzyszone wielomiany Laguerre’a dla α = 0 otrzymuje się „normalne” wielomiany Laguerre’a wielomiany Hermite’a wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju wielomiany Gegenbauera wielomiany Jacobiego można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre’a oraz Czebyszewa I i II rodzaju harmoniki sferyczne zastosowanie w astronomii, mechanice i elektrodynamice funkcjami Bessela funkcje Bessela zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektrodynamice zmodyfikowane funkcje Bessela funkcje Hankela funkcjami odwrotnymi funkcja Gudermanna amplituda hiperboliczna, gudermanian funkcja W Lamberta funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex
Inne funkcje specjalne funkcje Mathieu – funkcje eliptycznego cylindra funkcje Webera-Hermite'a – funkcje parabolicznego cylindra funkcje Heinego funkcje Wangereina funkcje Blasiusa funkcje Falknera-Skanna
Przypisy
Bibliografia G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983. M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, tu dostępne online E. T. Whittaker, G. N. Watson, Kurs analizy współczesnej, część druga, PWN, Warszawa 1968.
Linki zewnętrzne Special functions , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].