Funkcja wielu zmiennych – dwuznaczne pojęcie matematyczne: w sensie szerokim jest to każda funkcja , której dziedziną jest podzbiór iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów, tzn. ; w sensie wąskim jest to każda funkcja rzeczywista, której argumenty to co najmniej dwie liczby.

Częstym przykładem są zmienne rzeczywiste, tzn. elementy dziedziny są wektorami Przeciwdziedzina funkcji może być przestrzenią liczb rzeczywistych lub ogólnie – przestrzenią wielowymiarową w tym ogólnym przypadku wartościami funkcji są wektory

Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych np. w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii, inżynierii itp. jest funkcjami wielu zmiennych.

Zapis funkcji wielu zmiennych Funkcję zależną od zmiennych postaci zwykle zapisuje się pomijając nawiasy wewnętrzne, czyli pisze się zamiast

W przypadku mniejszej liczby zmiennych zamiast oznaczeń stosuje się oznaczenia

Często w zapisie funkcji wielu zmiennych nie podaje się jawnie zmiennych, domyślnie przyjmując, iż wszystkie literały oznaczają zmienne z wyjątkiem uznanych powszechnie za stałe, np. fizyczne lub matematyczne. Np. wzór na objętość walca obrotowego jest funkcją dwóch zmiennych (gdzie – promień podstawy, – wysokość walca); w skrócie funkcję tę zapisuje się w postaci

Przykłady 1 Przykładowe funkcje wielu zmiennych:

– długość wektora w przestrzeni

– napięcie na oporniku jako funkcja oporu i natężenia prądu (według prawa Ohma)

Przykłady 2 thumb|180px|Symetryczna funkcja falowa 2 bozonów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia bozonów, na osi pionowej – wartości funkcji. thumb|180px|Antysymetryczna funkcja falowa 2 fermionów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia fermionów, na osi pionowej – wartości funkcji.

W matematyce elementarnej podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) – to funkcje dwóch zmiennych. W mechanice klasycznej wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa liczbie stopni swobody układu. Np. w przypadku jednej cząstki poruszającej się swobodnie w przestrzeni wektor ten ma 3 składowe, a dla N takich cząstek wektor ten ma 3N składowych. W mechanice kwantowej stan układu opisuje funkcja falowa mająca wartości w zbiorze liczb zespolonych, która zależy od takiej liczby współrzędnych, jaka byłaby potrzebna do opisania układu w mechanice klasycznej, jeżeli przy tym nie uwzględnia się spinu cząstek; jeżeli zaś trzeba uwzględnić spin, to wartości funkcji falowej tworzą wektor mający tyle elementów, ile stanów spinowych może mieć układ.

Zobacz też pochodna cząstkowa równanie różniczkowe macierz Hessego - ekstrema funkcji wielu zmiennych

Przypisy

Bibliografia W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne Helena Kazieko, Funkcja dwóch zmiennych, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 13 maja 2020 [dostęp 2024-08-03]. [dostęp 2023-12-21].

W