Liczby naturalne

mały|Półprosta przedstawiająca liczby naturalne z zerem (0) – wariant osi liczbowej mały|Pogrubiona, wielka litera N – standardowy symbol zbioru liczb naturalnych.

Liczby naturalne – podstawowy typ liczb, rozumiany dwojako: w sensie szerszym są to moce zbiorów skończonych: 0, 1, 2...; w sensie węższym są to moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...

Liczby te opisują liczności i kolejności, przez co odpowiadają liczebnikom głównym i porządkowym. Dodatnie liczby naturalne są używane przez ludzi od prehistorii i częściowo też przez inne gatunki zwierząt Karolina Głowacka i Mateusz Hohol, Umysł matematyczny: dlaczego ludzie potrafią całkować, a szympansy nie?, kanał „Radio Naukowe” na YouTube, 21 października 2021 [dostęp 2024-03-25]., a do ich zapisu wprowadzono cyfry. Czasy historyczne przyniosły dalszy rozwój matematyki, w tym rozumienia liczb naturalnych: pojęcie zera; efektywny zapis – systemy pozycyjne, a potem też notację wykładniczą służącą m.in. do dużych liczb naturalnych oraz strzałkową do jeszcze większych; ścisłe definicje, oparte na teorii mnogości.

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem . Jest przedmiotem badań różnych działów matematyki jak arytmetyka – elementarna, wyższa i modularna – oraz kombinatoryka, inne obszary matematyki dyskretnej, algebra i metamatematyka. Liczbami naturalnymi definiuje się inne struktury jak: liczby całkowite, konstruowane z nich liczby wymierne, rzeczywiste i ich dalsze uogólnienia; ciągi – są to funkcje, których dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych; zbiory przeliczalne.

Nazewnictwo i oznaczenia Termin liczby naturalne pojawił się w pewnej postaci w XV wieku, a w XVIII wieku stał się powszechny, występując m.in. w Encyklopedii Britannica Jeff Miller, Natural number [w:] [ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (N)] , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-03-25].. Najpóźniej w XIX wieku pojawiło się włączanie zera do tego zbioru. Odtąd wśród matematyków występują różne konwencje [dostęp 2024-03-25].: starszego znaczenia, bez zera, używają m.in. Wacław SierpińskiO rozkładach liczb wymiernych na ułamki proste: ...o naturalnym (czyli całkowitym dodatnim) mianowniku, a więc liczby postaci 1/n, gdzie n = 1, 2, 3,... i Aleksander IvićThe Riemann Zeta-Function, Theory and Applications, 1985: NOTATION k,l,m,n           natural numbers (positive integers); nowszego znaczenia, z zerem, używali m.in.: John von Neumann – jego model liczb naturalnych w teorii mnogości, opisany w dalszej sekcji, opiera się na zbiorze pustym utożsamianym z zerem; John Horton Conway; polskie szkolnictwo – konwencję tę stosują edukacyjne strony WWW prowadzone przez Ministerstwo Edukacji Narodowej (MEN) Liczby naturalne – wprowadzenie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-25]. Liczby naturalne na osi liczbowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-03-25]. oraz podręczniki szkolne zatwierdzone przez ministerstwoWojciech Babiański, Lech Chańko i Karolina Wej, Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum, Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa 2022, , s. 10..

Oprócz symbolu stosuje się też inne, bardziej jednoznaczneRichard P. Stanley, Enumerative Combinatorics – autor oznacza tam zbiór dodatnich liczb całkowitych przez P, od angielskiego positive, a nieujemnych – przez N.: bez zera: z zerem:

Definicje Postulaty Peana mały|Giuseppe Peano (1858–1932)

Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki – tzw. postulaty lub aksjomaty Peana – które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych: 0 jest liczbą naturalną, Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, Różne liczby naturalne mają różne następniki: Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

bo 2 jest następnikiem 1, z definicji, następnik 2 oznaczamy symbolem 3, 1 jest następnikiem 0, z definicji, następnik 3 oznaczamy symbolem 4.

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia byłby zastąpiony przez warunek:

Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda RussellaRussell ogłosił ją w swojej Principia Mathematica., definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna mały|John von Neumann (1903–1957) mały|Animacja konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych ze zbioru pustego

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X – zbiór induktywny.

Niech Przecięcie jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym: rzeczywiście, niech – zbiór induktywny. To też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w a więc zawierającym a więc równym – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności – oznaczamy jako 0, – oznaczamy jako 1, – oznaczamy jako 2 – oznaczamy jako 3 ... – oznaczamy jako

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. itd.

Podstawowe własności Moc mały|Alef zero – pierwsza nieskończona liczba kardynalna, definiowana jako moc zbioru liczb naturalnych

Liczby naturalne to podstawowy przykład zbioru nieskończonego – jest on równoliczny z częścią swoich podzbiorów właściwych. Moc tego zbioru nazywa się alef zero i oznacza jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Zbiory tej mocy nazywa się przeliczalnymi, przy czym czasem to pojęcie obejmuje też zbiory skończone.

Porządek Dla dowolnych liczb naturalnych

Działania mały|Relacja podzielności wprowadza w zbiorze liczb naturalnych częściowy porządek; można go przedstawić przez diagram Hassego. Relacja ta definiuje dwa działania: największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW). Zbiór liczb naturalnych z dwuargumentowymi wersjami tych działań tworzy kratę.

W zbiorze liczb naturalnych definiuje się szereg działań jak: minimum (min), maksimum (max), dodawanie (+), mnożenie (·), potęgowanieZerowa potęga zera czasem jest definiowana jako 1, a czasem uznawana za symbol nieoznaczony; w tym drugim wypadku potęgowanie nie jest działaniem wewnętrznym w zbiorze liczb naturalnych., największy wspólny dzielnik (NWD), najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW).

Przez to w algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby naturalne tworzą struktury algebraiczne: większość tych działań – oprócz potęgowania – jest łączna, przez co liczby naturalne tworzą z nimi półgrupy; dodawanie, mnożenie i NWW mają wśród liczb naturalnych elementy neutralne – odpowiednio 0, 1 i 1 – przez co półgrupy te są nazywane monoidami; mnożenie jest też rozdzielne względem dodawania, przez co liczby naturalne z tymi dwoma działaniami (+,·) tworzą półpierścień Semi-ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].; półpierścieniami są też liczby naturalne z działaniami minimum i dodawania (min,+) oraz maksimum i dodawania (max,+); działania NWD i NWW są też przemienne, idempotentne i spełniają inne warunki kraty Lattice , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25]..

Niektóre pary liczb naturalnych można też odejmować i dzielić, jednak wynik może nie być liczbą naturalną. Przez to mówi się, że działania te nie są wewnętrzne w tym zbiorze lub że nie jest on na nie zamknięty – nie są to działania na liczbach naturalnych w sensie algebry abstrakcyjnej Leszek Pieniążek, Algebra liniowa z geometrią 1. 2.3 Grupy i ciała, Uniwersytet Jagielloński, im.uj.edu.pl, 13 stycznia 2020 [dostęp 2024-03-25]. Paweł Lubowiecki, 16. Struktury algebraiczne cz. I Działanie wewnętrzne i zewnętrzne oraz grupa, kanał Wojskowej Akademii Technicznej (UczelniaWAT) na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-03-26]..

Każda liczba naturalna: ma jednoznaczną faktoryzację – mówi o tym zasadnicze twierdzenie arytmetyki; jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych – mówi o tym arytmetyczne twierdzenie Lagrange’a.

Historia Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Rola filozoficzna W filozofii matematyki najpóźniej w XIX wieku powstała doktryna finityzmu, według której są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka. Słynne jest stwierdzenie Leopolda Kroneckera, propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Uogólnienia