mały|Każdą liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt lub wektor na płaszczyźnie zespolonej. Diagram, który to robi za pomocą prostokątnego (kartezjańskiego) układu współrzędnych, jest znany jako diagram Arganda mały|Standardowy symbol zbioru liczb zespolonych: mały|Liczby zespolone mogą być wykładnikami potęgi. Wzór Eulera opisuje dowolne urojone potęgi liczby , czyli wartości odpowiedniej funkcji wykładniczej dla urojonych argumentów. Konsekwencją tego wzoru jest podana wyżej tożsamość Eulera nazywana „najpiękniejszym wzorem matematyki”
Liczby zespolone – rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych zawierające jednostkę urojoną, oznaczaną tradycyjnie (tj. liczbę o tej własności, że ). Taki obiekt nie występuje na rzeczywistej osi liczbowej, jednak da się go skonstruować za pomocą liczb rzeczywistych, co opisano dalej. Liczby postaci , gdzie nazywane są liczbami urojonymi. Liczbami zespolonymi nazywa się dowolną liczbę postaci , gdzie .
Zbiór liczb zespolonych oznacza się tradycyjnie, symbolem wielkiej tzw. kreślonej litery C, pisanym jako [dostęp 2024-03-25].. Można w nim wykonywać cztery podstawowe działania arytmetyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (to ostatnie – przez wszystkie liczby oprócz zera); są przy tym zachowane podstawowe własności tych działań jak: przemienność i łączność dodawania oraz mnożenia; rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania.
Liczby zespolone można także – dzięki odpowiednim, sporządzonym dla liczb zespolonych, definicjom odpowiednich działań: potęgować z wykładnikiem naturalnym dodatnim, a nawet, wykluczając zero, podnosić do potęg zespolonych, jednak w ogólności jest to działanie wielowartościowe Tomasz Miller, Potęgowanie i „najpiękniejszy wzór matematyki” | Zacznijmy od zera #4, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 23 listopada 2021 [dostęp 2024-03-26].; pierwiastkować, rozwiązując odpowiednie równania algebraiczne lub podnosząc te liczby do potęg ułamkowych; logarytmować.
Obliczenia na liczbach zespolonych bywają prostsze przy użyciu ich alternatywnych postaci, znanych jako trygonometryczna i wykładnicza, co opisano niżej.
Liczby zespolone mają standardowe przedstawienie geometryczne – można je rozumieć jako punkty na płaszczyźnie, na której leży także oś rzeczywista, lub jako ich wektory wodzące, tj. prowadzące do nich z zera. Taka dwuwymiarowa konstrukcja jest znana jako płaszczyzna zespolona lub płaszczyzna Gaussa. Można na niej wprowadzać różne układy współrzędnych: układ prostokątny (kartezjański) opisuje liczbę zespoloną za pomocą uporządkowanej pary liczb rzeczywistych , nazywanych odpowiednio: częścią rzeczywistą; oraz: częścią urojoną; oznaczanych ; układ biegunowy opisuje każdą z tych liczb za pomocą odległości od zera – początku tego układu – oraz miary kąta między tym wektorem a półprostą liczb dodatnich. Wielkości te są znane jako moduł i argument główny, oznaczane za ich pomocą konstruuje się wspomniane postaci trygonometryczne i wykładnicze.
Diagram przedstawiający płaszczyznę zespoloną (Gaussa) z kartezjańskimi osiami współrzędnych jest znany jako diagram Arganda; jego przykład podano obok. Istnieją też inne geometryczne opisy tego zbioru liczbowego, np. sfera Riemanna rozszerzająca liczby zespolone o nieskończoność [dostęp 2024-03-27]..
Liczby zespolone są rozważane od XVI wieku, kiedy użyto ich w algebrze do rozwiązywania równań trzeciego stopnia. Odtąd przenikły do różnych działów matematyki i jej zastosowań: okazały się użyteczne w trygonometrii i opartej na niej analizie harmoniczej. Tych dyscyplin używa się do opisu drgań, fal i sygnałów, przez co liczby zespolone zastosowano w różnych naukach empirycznych i technicznych jak fizyka, elektrotechnika i elektronika; powstał dział matematyki oparty w całości na tych liczbach – analiza zespolona, która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią [dostęp 2024-03-27].. Niektóre z jej problemów uznano za jedne z najdonioślejszych w całej matematyce Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-03-27]. Alex Kontorovich, The Riemann Hypothesis, Explained, kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2024-03-27]..
W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby zespolone tworzą ciało i są rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną [dostęp 2024-03-27].. Podano różne konstrukcje tej struktury algebraicznej, oparte na parach uporządkowanych, macierzach, przekształceniach liniowych płaszczyzny kartezjańskiej i na pierścieniach ilorazowych, co opisano niżej. Opisano też uogólnienia liczb zespolonych jak kwaterniony, inne liczby hiperzespolone i inne algebry Clifforda.
Postać algebraiczna (kanoniczna) Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci
gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi, zaś jest tzw. jednostką urojoną, tzn. jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek (drugim elementem jest ). Spotyka się czasami zapis , który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.
Postać jest nazywana postacią algebraiczną liczby zespolonej Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. I. Postać algebraiczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09]. albo postacią kanoniczną.
Dla liczby definiuje się jej część rzeczywistą (łac. pars realis) jako (inne oznaczenia: ), część urojoną (łac. pars imaginaria) jako (inne oznaczenia: ).
Przykładowo liczba jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi , zaś część urojona: . Liczby rzeczywiste mogą być prawidłowo utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej – ponieważ rozważenie liczb zespolonych, takich że ich części urojone są równe , zwraca nam zestaw liczb zespolonych, którym można w sposób jednoznaczny, przypisać pewne liczby rzeczywiste.
Liczby postaci nazywa się liczbami urojonymi.
Zapis alternatywny W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery do innych celów, na przykład chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie w którym to oznacza jednostkę urojoną.
Równość Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone oraz są równe wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
Działania Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym
Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika. Jest to analogiczne do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach arytmetycznych:
Inne operacje Pierwiastek kwadratowy – niech wówczas mamy dwa rozwiązania (sgn to funkcja zwracająca znak) Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. IV. Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].:
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Wyprowadzenie
Oznaczmy oraz oraz
Dokonajmy najpierw sprawdzenia:
Rozpatrzmy część rzeczywistą ostatniej równości
oraz część urojoną (korzystamy z własności kwadratu modułu: ):
Gdy powyższe ciągi równości rozpatrzymy od końca, niniejsze sprawdzenie staje się wyprowadzeniem.
Płaszczyzna zespolona
thumb|Płaszczyzna zespolona Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie, podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).
Każdej więc liczbie zespolonej można przyporządkować wektor i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia , zadane na zbiorze liczb zespolonych, odpowiadają w sposób następujący, odpowiednim działaniom na wektorach, każdych dwóch liczb zespolonych (wektorach, stanowionych zarazem zawsze przez pary pewnych liczb rzeczywistych):
Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa. Reprezentacja geometryczna była używana także przez Hamiltona. Dzięki autorytetowi Gaussa oraz Hamiltona geometryczna teoria liczb zespolonych została w pełni zaakceptowana przez matematyków.
Moduł
Zauważmy, iż długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa Dla liczby moduł definiujemy jako Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję normy.
Argument
Niech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą oznaczmy go przez Jest to tzw. argument. Widać, iż i Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.
Argument liczby spełniający nierówność (czasami też równoważnie ) oznacza się przez i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz dla ujemnych.
Postać trygonometryczna
Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):
Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się: postacią trygonometryczną z powodu użycia funkcji trygonometrycznych Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. II. Postać trygonometryczna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].; postacią biegunową – jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych; postacią geometryczną – prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie.
Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.
Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. oraz są równe, gdy
oraz (istotne tylko dla )
Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:
Powyższy wzór ma wiele przypadkówW wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie., lecz istnieje wzór korzystający z funkcji arcus cosinus, który wymaga mniejszej ich liczby:
Mnożenie Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech
Wówczas iloczyn
Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy ostatecznie
co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.
Mnożenie przez można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt
Wzór de Moivre’a
mały|Abraham de Moivre (1667–1754)
Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia dla danego wykładnika przy warunku Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.
Rozpatrzmy Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór
Pierwiastkowanie