Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu tj. macierz spełniająca warunek:
czyli
Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).
Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.
Przykłady Macierze hermitowskie 2 × 2 macierze symetryczne rzeczywiste, tj. np.
macierze zespolone, np.
macierze Pauliego
macierz zbudowana z macierzy Pauliego
Macierze hermitowskie 3 × 3 macierze symetryczne rzeczywiste, tj. np.
Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:
Macierze hermitowskie 4 × 4 macierz gamma Diraca
macierze alpha i beta Diraca
Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego Macierze hermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby rzeczywiste a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru mają ogólną postać
gdzie – sprzężenia zespolone liczb
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
Macierze hermitowskie 2 × 2 – mają ogólną postać
gdzie:
– sprzężenie zespolone liczby
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.
Macierze hermitowskie 3 × 3 – mają ogólną postać
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
Własności Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste. Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.
Dowód: Niech będzie wartością własną macierzy tj. dla pewnego niezerowego wektora Wówczas
co dowodzi, że jest liczbą rzeczywistą, ponieważ
Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.
Dowód: Niech i będą różnymi wartościami własnymi macierzy dla pewnych wektorów, kolejno i tj. oraz Wówczas:
ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc
Stąd:
ponieważ (macierz niezdegenerowana), a więc wektory i są ortogonalne.
Macierz hermitowska posiada liniowo niezależnych wektorów własnych. Dowód: Niech będzie macierzą hermitowską, a jej wartością własną. Pokażemy, że nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: zatem Skoro jest hermitowska, a – rzeczywista, z powyższego wynika, że lub równoważnie Ostatecznie czyli jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy występują zatem wyłącznie jej wektory własne.
Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy istnieją rzeczywista diagonalna macierz oraz unitarna macierz takie że Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty. Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.
Formy hermitowskie Formę na zespolonej przestrzeni liniowej nazywa się hermitowską jeżeli
Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli jest -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór
definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).
Zobacz też macierz antyhermitowska macierz unitarna operator hermitowski sprzężenie hermitowskie macierzy
Przypisy
Bibliografia
Tadeusz Trajdos, Matematyka c III. Warszawa: PWN, 1993. .
H