Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznychA więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie. oraz pierwiastków stopni naturalnych.
Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.
Definicja formalna Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych) Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą pierwiastnikówWacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne”. Tom 11, Rozdział 13. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki., jeśli istnieją liczby zespolone oraz liczby naturalne takie, że kładąc (ciało liczb wymiernych), (rozszerzenie ciała o element ) dla
będziemy mieli dla wszystkich oraz
Liczbę nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.
Jeśli powyżej zastąpimy przez pewne ciało to otrzymamy definicję przedstawialności liczby w pierwiastnikach nad ciałem Jeśli to powiemy, że jest przedstawialna w pierwiastnikach względem .
Definicja 2 (ogólniejsza) Niech będzie ciałem o charakterystyce 0. Element jest pierwiastnikowy względem ciała (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ), gdy istnieje ciąg ciał oraz dla których zachodzi warunek: dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci
Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała oznacza się zwykle przez i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała .
Jeśli jest ciałem charakterystyki to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym: dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci gdzie albo wielomianu postaci .
Własności Zbiór jest ciałem. Każdy element pierwiastnikowy względem należy do . Jeśli oraz równanie
nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych. Jeżeli i są liczbami pierwszymi, to równanie nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem .
Znaczenie i użycie Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).
Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Pierwiastkowanie Kategoria:Geometria Kategoria:Teoria ciał