mały|Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.
Okrąg opisany na wielokącie – okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.
Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego. Taki wielokąt nazywamy wtedy cyklicznym.
Okrąg opisany na trójkącie Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Promień okręgu opisanego można obliczyć dwojako: jeśli boki tego trójkąta mają długości i to: gdzie jest polem tego trójkąta; zgodnie z twierdzeniem sinusów:
Przykład Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane i obliczamy
Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy Przeciwprostokątna jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta – oparty na średnicy.
Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku stosuje się wzór:
Okrąg opisany na czworokącie mały|Okrąg opisany na czworokącie
Czworokąty, na których można opisać okrąg – czyli można je wpisać w okrąg – bywają nazywane cyklicznymi Jacek Człapiński, Własności czworokąta wpisanego w okrąg, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-28]..
Twierdzenie Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe radianów:
Dowód Kąty i oraz i są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:
Jednocześnie kąty i tworzą razem kąt pełny. Zatem:
Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.
Przypuśćmy przeciwnie, że na czworokącie nie można opisać okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie oznaczmy przez Wówczas albo: suma kątów i jest większa lub równa albo przynajmniej jedna z półprostych otwartych przecina łuk (bo jeden z kątów jest mniejszy niż ).
W pierwszym przypadku ze względu na sumę kątów w czworokącie kąt byłby mniejszy bądź równy i suma jego i kąta byłaby mniejsza niż
W drugim przypadku bez zmniejszenia ogólności można założyć, że półprosta przecina okrąg w punkcie Ale wtedy z udowodnionej części twierdzenia zachodzi i jeśli założyć, że spełniony jest warunek to będzie z niego wynikać równość kątów i Następnie ze współliniowości i oraz twierdzenia Talesa równoległość i sprzeczna z tym, że się przecinają.
Zobacz też Twierdzenie Ptolemeusza kula opisana
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Artykuły na Zintegrowanej Platformie Edukacyjnej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-28]. Okrąg opisany na trójkącie; Tomasz Wójtowicz, Okrąg opisany na trójkącie; Tomasz Wójtowicz, Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie; Tomasz Wójtowicz, Zależność między polem trójkąta a promieniem koła opisanego na trójkącie; Agnieszka Alabrudzińska, Własności okręgu opisanego na trójkącie; Agnieszka Alabrudzińska, Środek okręgu opisanego na trójkącie; Wanda Człapińska, Zależność między polem trójkąta a promieniem okręgu opisanego na trójkącie; Jacek Człapiński, Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym; Jacek Człapiński, Okrąg wpisany i opisany na trójkącie równobocznym; Janusz Karkut, Równanie okręgu opisanego na trójkącie. [dostęp 2024-05-18]. [dostęp 2024-05-18]. [dostęp 2024-05-28].
Kategoria:Wielokąty Kategoria:Relacje między okręgami a innymi figurami