Równanie różniczkowe – równanie określające zależność pomiędzy nieznaną funkcją a jej pochodnymi.
Równania różniczkowe można podzielić na: równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej, równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych.
Przykład Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego polega na znalezieniu takiej funkcji która spełnia to równanie. Tym samym, równanie różniczkowe, postaci na przykład jak poniżej:
gdzie oznacza drugą pochodną względem ; ma ogólne swoje rozwiązanie, będące postaci
gdzie i są pewnymi stałymi, które wyznacza się na podstawie pewnych warunków początkowych lub pewnych warunków brzegowych, określanych przy okazji wielu równań różniczkowych.
Metody rozwiązywania równań różniczkowych Istnieją metody analityczne rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów. Jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć).
W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, w zastosowaniach wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego, np. stosując metodę aproksymacji. Efektywnego sposobu rozwiązań równań różniczkowych dostarczają metody numeryczne, np. metoda Rungego-Kutty.
Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Na wielu uniwersytetach są specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.
Oprogramowanie Dostępne jest oprogramowanie, za pomocą którego można znajdować rozwiązania równań różniczkowych:
Płatne:
Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych. Maple, aplikacja do obliczeń symbolicznych. MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).
Bezpłatne: Maxima, system algebry komputerowej. SageMath. SymPy - biblioteka Pythona o otwartym kodzie źródłowym do obliczeń symbolicznych. Xcashttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf
Przykłady równań różniczkowych w matematyce i fizyce Matematyka:
równanie Laplace’a opisujące harmoniki równanie Poissona równania Cauchy’ego-Riemanna w analizie zespolonej Mechanika klasyczna: równania I i II zasady dynamiki Newtona równania Hamiltona Teoria fal: równanie falowe równania Maxwella Fizyka jądrowa: równanie rozpadu promieniotwórczego Mechanika płynów: równanie Naviera-Stokesa równanie Poissona-Boltzmanna Termodynamika: równanie przewodnictwa cieplnego równanie konwekcji swobodnej Teoria grawitacji:
równania Einsteina Ogólnej Teorii Względności równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna
Mechanika kwantowa: równanie Schrödingera równanie Pauliego równanie Diraca
Zobacz też
metoda Eulera rachunek różniczkowy i całkowy równanie różniczkowe zupełne zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe) hydrointegrator
Bibliografia I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2010, str. 509-549 - równania różniczkowe zwyczajne, 549-573 - równania różniczkowe cząstkowe. R. S. Guter, A. R. Janpolski, Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980. W.I. Smirnow, Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, str. 7-165 - równania różniczkowe zwyczajne oraz 464-607 - równania różniczkowe cząstkowe.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Analiza – równania różniczkowe, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27]. Nagrania na YouTube [dostęp 2024-11-01]: Sabine Hossenfelder, What are Differential Equations and how do they work?, kanał autorski, 3 października 2020. Grant Sanderson, Differential equations, kanał 3blue1brown – seria filmów o podstawach równań różniczkowych.
Kategoria:Artykuły, które powinna mieć każda Wikipedia (poniżej 10k)