thumb|right|upright=1.3|Twierdzenie japońskie: jest prostokątem.
Twierdzenie japońskie o czworokącie wpisanym – twierdzenie w geometrii euklidesowej, które stwierdza, że środki okręgów wpisanych w cztery trójkąty powstałe przez poprowadzenie przekątnych czworokąta wpisanego w okrąg tworzą prostokąt.
Podział dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg za pomocą jego przekątnych daje cztery nachodzące na siebie trójkąty (każda przekątna tworzy dwa trójkąty). Środki okręgów wpisanych w te trójkąty tworzą prostokąt.
Dokładniej, niech będzie dowolnym czworokątem wpisanym w okrąg, a – środkami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty . Wówczas czworokąt o wierzchołkach jest prostokątem. Dowód
Rozważmy dowolny czworokąt wpisany w okrąg , którego przekątne i przecinają się w punkcie . Tworzy to cztery trójkąty: , , oraz .
Zauważmy, że środek okręgu wpisanego w każdy z tych trójkątów to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Oznaczmy te środki przez , odpowiadająco dla trójkątów .
Punkty leżą na okręgu opisanym wokół czworokąta . Dowodem na to jest fakt, że kąty między sąsiednimi bokami czworokąta są kątami wierzchołkowym w danym okręgu. Następnie zauważmy, że każda z par przeciwległych kątów w czworokącie wynosi 90°, co dowodzi, że jest to prostokąt.
Stąd wnioskujemy, że środkami okręgów wpisanych w trójkąty powstałe przez przekątne czworokąta wpisanego w okrąg tworzą prostokąt. q.e.d.
Uogólnienie Twierdzenie to można uogólnić do twierdzenia japońskiego dla wielokątów wpisanych w okrąg, które mówi, że suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty powstałe z triangulacji wielokąta wpisanego nie zależy od sposobu tej triangulacji. W szczególnym przypadku dla czworokąta wynika stąd, że sumy promieni dwóch par przeciwległych okręgów wpisanych są równe.
Aby wykazać przypadek czworokąta, można skonstruować równoległobok styczny do wierzchołków powstałego prostokąta, którego boki są równoległe do przekątnych czworokąta. Konstrukcja ta pokazuje, że równoległobok jest rombem, co jest równoważne równości sum promieni okręgów wpisanych odpowiadających każdej z przekątnych.
Przypadek czworokąta implikuje przypadek ogólny, ponieważ dowolne dwie triangulacje wielokąta wpisanego można połączyć ciągiem przekształceń zmieniających jedną przekątną na inną, przy czym w każdym kroku zastępuje się dwa okręgi wpisane w jednym czworokącie innymi dwoma o tej samej sumie promieni. Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach i czworokątach