Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Definicja Rozważmy przestrzeń funkcji klasy gdzie jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy

gdzie jest wielowskaźnikiem, a są pewnymi funkcjami. Przez rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez

Przykład Operator różniczkowy dany jest wzorem:

Funkcje, na które można działać operatorem muszą być klasy tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy

Np. działając operatorem na funkcję

otrzyma się

czyli

Własności operatora różniczkowego Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

gdzie: – dane funkcje, – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nabla Współrzędne kartezjańskie 3-wymiarowe Operator nabla we współrzędnych kartezjańskich ma postać

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób: dywergencja – to operacja tworzona przy pomocy operatora mnożonego skalarnie przez funkcję wektorową ; w wyniku powstaje funkcja skalarna

gradient – to operacja tworzona przy pomocy operatora mnożonego przez funkcję skalarną; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

rotacja – to operacja tworzona przy pomocy operatora mnożonego wektorowo przez funkcję wektorową; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nabla laplasjan – to iloczyn skalarny operatora nabla przez siebie

dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego

lub

Zobacz też Typy operatorów: operator liniowy operator rzutowy operator samosprzężony (hermitowski) operator sprzężony hermitowsko operator unitarny

Przypisy

Kategoria:Analiza matematyczna