Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:

Функції та є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, при . Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.

Тригонометричні функції

Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.

Наприклад, функції та є ортогональними на інтервалі для , де n та m є натуральними числами. Тоді

тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю.Антоній Зигмунд (1935) Тригонометричні ряди, сторінка 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути зібрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.

Многочлени

Якщо для послідовності многочленів на ітервалі застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.

Для ортогоналізації, вагова функція може вставлятись в таку білінійну форму:

Поліноми Лаґерра на мають вагову функцію .

В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на , мають вагові функції та , відповідно.

Поліноми Чебишова визначені на мають вагові функції та .

визначені на одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.

Функції з бінарним значенням Функція Волша і Гаарів вейвлет є прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.

Раціональні функції

Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі , але деколи потрібні ортогональні системи на . Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до . Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called та .

Диференціальні рівняння Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це .

Див. також Власні вектори та власні значення Гільбертів простір Теорема Карунена — Лоева

Функції Ваньє

Примітки

Джерела