Січна

Січна́ (англ. secant, transversal) — пряма, яка (локально) перетинає криву щонайменше у двох різних точках.. Слово походить від латинського слова secare, що означає різати.. У випадку кола, січна перетинає коло рівно у двох точках. Хорда — відрізок січної, визначений цими двома точками, тобто частина січної, кінцями якої є ці дві точки..

Кола

Пряма може перетинати коло в одній, двох точках або не перетинати його взагалі. Пряма, що має перетини у двох точках, називається січною, в одній точці — дотичною, а та, що не має точок перетину — зовнішньою прямою. Хорда — це відрізок прямої, що з'єднує дві різні точки кола. Таким чином, кожна хорда лежить на єдиній січній прямій, а кожна січна пряма визначає єдину хорду.

У строгих сучасних викладах планіметрії результати, які здаються очевидними і які Евклід у своєму викладі приймав без доведення, зазвичай доводяться.

Наприклад, теорема (елементарна неперервність кола): якщо  — коло, а  — пряма, що містить точку , яка лежить усередині , і точку , яка лежить поза , то є січною прямою для .

У деяких випадках формулювання тверджень через січні прямі, а не через хорди, допомагає уніфікувати виклад. Як приклад розглянемо такий результат: Якщо дві січні прямі містять хорди і кола та перетинаються в точці , що не лежить на колі, то довжини відрізків задовольняють співвідношення . Якщо точка лежить усередині кола, це твердження відповідає твердженню III.35 у «Началах» Евкліда, але якщо точка лежить поза колом, то цей результат у «Началах» не міститься. Проте Роберт Сімсон слідом за Христофором Клавієм, довів його у своїх коментарях до Евкліда. Це твердження іноді називають .

Криві Для кривих, складніших за звичайні кола, виникає можливість того, що пряма перетинатиме криву більш ніж у двох різних точках. Деякі автори визначають січну до кривої як пряму, що перетинає криву у двох різних точках. Таке визначення залишає можливість того, що пряма може мати й інші точки перетину з цією кривою. За такого формулювання визначення січної для кіл та кривих є ідентичними, а можливість наявності додаткових точок перетину для кола просто не виникає.

Січні та дотичні Січні можуть бути використані для наближення дотичної прямої до кривої в певній точці (якщо вона існує). Визначимо січну до кривої через дві точки, та , де є нерухомою, а  — змінною. Якщо точка наближається до точки вздовж кривої, і при цьому кутовий коефіцієнт січної наближається до граничного значення, то ця границя визначає кутовий коефіцієнт дотичної в точці . Прямі січних є наближеннями дотичної прямої. У математичному аналізі ця ідея є геометричним визначенням похідної.

Дотична до кривої в точці може бути січною для цієї самої кривої, якщо вона перетинає її принаймні ще в одній точці, окрім . Інший погляд на це полягає в усвідомленні того, що статус дотичної в точці є локальною властивістю, яка залежить лише від вигляду кривої в безпосередній близькості до , тоді як статус січної є глобальною властивістю, оскільки для її визначення потрібно розглянути всю область визначення функції, що утворює криву.

Множини та -січні Поняття січної прямої можна застосовувати в більш загальному контексті, ніж евклідовий простір. Нехай  — скінченна множина з точок у деякому геометричному середовищі. Пряму називають -січною множини якщо вона містить рівно точок із . Наприклад, якщо  — це множина з 50 точок, розміщених на колі в евклідовій площині, то пряма, що сполучає дві з них, буде 2-січною (або бісічною), а пряма, що проходить лише через одну з них, — 1-січною (або унісічною). У цьому прикладі унісічна не обов'язково є дотичною до кола.

Ця термінологія часто використовується в геометрії інцидентності та комбінаторній геометрії. Наприклад, теорема Сильвестра — Галлаї з геометрії інцидентності стверджує, що якщо точок евклідової геометрії не лежать на одній прямій, то серед них обов'язково існує 2-січна. А класична задача дискретної геометрії про ставить питання про оцінку кількості 3-січних для скінченної множини точок.

Скінченність множини точок не є істотною для цього означення, за умови, що кожна пряма може перетинати множину лише в скінченній кількості точок.

Див. також Еліптична крива — крива, для якої кожна січна має третю точку перетину; на основі цієї властивості можна визначити більшу частину групового закону  — пряма, що перетинає криву (зазвичай просторову криву) у чотирьох точках  — об'єднання січних та дотичних прямих до заданого проєктивного многовиду Січна площина — тривимірний еквівалент січної прямої Теорема про середнє значення — теорема, що стверджує: для кожної січної графіка гладкої функції існує паралельна їй дотична пряма Теорема про січні Хорда — відрізок, що з'єднує дві точки кола

Примітки

Посилання

Задачі про січну та дотичну