Фактор графа G — це кістяковий підграф, тобто підграф, що має ті ж вершини, що й граф G. k-Фактор графа — це кістяковий k-регулярний підграф, а k-факторизація розбиває ребра графа на неперетинні k-фактори. Кажуть, що граф G k-факторизований, якщо він дозволяє k-розбиття. Зокрема, множина ребер 1-фактора — це досконале парування, а 1-розклад k-регулярного графа — це реберне розфарбування k кольорами. 2-фактор — це набір циклів, які покривають усі вершини графа.
1-факторизація Якщо граф 1-факторизований (тобто має 1-факторизацію), він має бути регулярним графом. Проте не всі регулярні графи є 1-факторизованими. k-Регулярний граф є 1-факторизованим, якщо його хроматичний індекс дорівнює k. Приклади таких графів:
Будь-який регулярний двочастковий граф. За допомогою теореми Холла про весілля можна показати, що k-правильний двочастковий граф містить досконале парування. Можна тоді видалити досконале парування та (k − 1)-регулярний двочастковий граф і продовжити той самий процес рекурсивно. Будь-який повний граф із парним числом вершин (див. нижче).
Однак є k-регулярні графи, хроматичний індекс яких дорівнює k + 1, і ці графи не 1-факторизовані. Приклади таких графів:
Будь-який регулярний граф з непарним числом вершин. Граф Петерсена.
Повні графи
1-факторизація повного графа відповідає розбиттю на пари в кругових турнірах. 1-факторизація повних графів є окремим випадком теореми Бараньяї про 1-факторизацію повних гіперграфів.
За одного зі способів побудови 1-факторизації повного графа всі вершини, крім однієї, поміщають на колі, утворюючи правильний многокутник, а вершину, що залишилася, поміщають у центр кола. За такого розташування вершин процес побудови 1-фактора полягає у виборі ребра e, що з'єднує центральну вершину з однією з вершин на колі, потім вибирають усі ребра, перпендикулярні до ребра e. 1-фактори, побудовані в такий спосіб, утворюють 1-факторизацію графа.
Число різних 1-факторизацій дорівнює 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … ().
Гіпотеза про 1-факторизацію Нехай G — k-регулярний граф з 2 n вершинами. Якщо k досить велике, відомо, що G має бути 1-факторизованим:
Якщо , то G — повний граф , а тому 1-факторизований (див. вище). Якщо , то G можна отримати видаленням досконалого парування з . Знову G є 1-факторизованим. Четвінд і Гілтон показали, що при граф G 1-факторизований.
Гіпотеза про 1-факторизацію;; ; є давно висунутою гіпотезою, яка стверджує, що значення достатньо велике. Точне формулювання:
Якщо n непарне і , то G 1-факторизований. Якщо n парне і , то G 1-факторизований.
включавє гіпотезу про 1-факторизацію.
Досконала 1-факторизація Досконала пара 1-факторизацій — це пара 1-факторів, об'єднання яких дає гамільтонів цикл.
Досконала 1-факторизація (P1F) графа — це 1-факторизація, яка має властивість, що будь-яка пара 1-факторів є досконалою парою. Досконалу 1-факторизацію не слід плутати з досконалим паруванням (яке також називають 1-фактором).
1964 року висловив припущення, що будь-який повний граф , де має досконалу 1-факторизацію. Відомо, що такі графи мають досконалі 1-факторизації:
нескінченне сімейство повних графів , де p — непарне просте (Андерсон і Накамура, незалежно); нескінченне сімейство повних графів де p — непарне просте; спорадично інші графи, включно з , де . Свіжіші результати є тут.
Якщо повний граф має досконалу 1-факторизацію, то повний двочастковий граф також має досконалу 1-факторизацію.
2-факторизація Якщо граф 2-факторизований, він має бути 2k-регулярним для деякого цілого k. 1891 року Юліус Петерсен показав, що ця необхідна умова є також достатньою — будь-який 2k-регулярний граф є 2-факторизованим, § 9, стор. 200; , стор. 113, теорема 9.9; див. доведення в книзі , стор. 49, наслідок 2.1.5.
Якщо зв'язкний граф є 2 k-регулярним і має парне число ребер, він також може бути k-факторизованим вибором двох факторів, які складаються з почергових ребер ейлерового циклу. Це стосується лише зв'язкних графів, незв'язні контрприклади містять незв'язне об'єднання непарних циклів або копій графа K2k+1 .
Примітки
Література
.
. .