Інтегра́льний опера́тор Фредгольма — цілком неперервний лінійний інтегральний оператор вигляду
що відображає один простір функцій в інший. Тут — область в евклідовому просторі , — функція, задана на декартовому квадраті , звана ядром інтегрального оператора. Для цілком неперервності оператора на ядро накладаються додаткові обмеження. Найчастіше розглядають неперервні ядра, -ядра, а також полярні ядра. Інтегральний оператор Фредгольма та його властивості використовують при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма.
Властивості
Лінійність Інтегральний оператор Фредгольма є лінійним, тобто .
Неперервність Інтегральний оператор з неперервним на — замикання області ядром , переводить в (і, отже, в і в ) і обмежений (неперервний), причому
де
.
Інтегральний оператор з -ядром:
переводить в , неперервний і задовольняє оцінці:
Існують умови неперервності інтегральних операторів з в .
Цілком неперервність Інтегральний оператор із неперервним ядром є цілком неперервним з в тобто переводить будь-яку множину, обмежену в у множину, передкомпактну в . Цілком неперервні оператори чудові тим, що для них справедлива альтернатива Фредгольма. Інтегральний оператор з неперервним ядром є границею послідовності скіняенних операторів із виродженими ядрами. Аналогічні твердження справедливі для інтегрального оператора з -ядром.
Існують також слабші достатні умови цілком неперервності (компактності) інтегрального оператора з в .
Спряжений оператор Споряжений оператор до оператора з -ядром у гільбертовому просторі має вигляд
Якщо , то інтегральний оператор Фредгольма є самоспряженим.
Обернений оператор За досить малих значень оператор (де — одиничний оператор) має обернений вигляду , де — інтегральний оператор Фредгольма з ядром — резольвентою ядра .
Див. також Інтегральне рівняння Фредгольма Ядро інтегрального оператора Теорія Фредгольма Альтернатива Фредгольма Цілком неперервний оператор
Примітки
Література Хведелидзе Б. В. Интегральный оператор // Математическая энциклопедия: [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.