Ін'єктивна оболонка — побудова в метричній геометрії, яка дає найменший ін'єктивний метричний простір, що включає даний метричний простір. Ця побудова багато в чому аналогічна побудові опуклої оболонки множини в евклідовому просторі.
Ін'єктивну оболонку вперше описав 1964 року. Пізніше її кілька разів перевідкрито..
Побудова На даному метричному просторі розглядають усі функції такі, що
для будь-яких , для будь-якого існує таке, що довільно мале.
Далі множину цих функцій забезпечують метрикою
Отриманий метричний простір називають ін'єктивною оболонкою .
Зауваження Простір можна розглядати як підпростір ; необхідне відображення отримують зіставленням кожній точці її дистанційної функції .
Властивості Ін'єктивна оболонка є ін'єктивним простором. Ін'єктивна оболонка компактного простору компактна. Зокрема, будь-який компактний простір є підпростором компактного простору зі внутрішньою метрикою. Нехай і — Ін'єктивні оболонки компактних метричних просторів і . Тоді
де позначає метрику Громова — Гаусдорфа. Стала 2 в цій нерівності є оптимальною.
Примітки