Чотиривимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з трьома уявними одиницями.

Тобто числа виду

де — дійсні числа;  — уявні одиниці,  — уявна частина.

Множення

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

Погрупувавши доданки

Після заміни змінних, отримаємо:

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно: .

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд

— додавання, — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Степенева асоціативність Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для .

Другого легко досягти при:

Почергово зануляючи всі числа окрім одного отримаємо: — антикомутативність добутків

Альтернативність Використавши ще одну із слабких форм асоціативності — альтернативність, отримаємо: , , . Розглядаючи тільки варіанти з , отримаємо комутативність тільки при

Виконавши множення в різному порядку отримаємо асоціативність:

Не альтернативні При відсутності альтернативності, не можливо вивести одні добутки із інших, але легко побачити степенево-асоціативну систему: гіперболічні кватерніони

Таблиці Назва Примітки -1 -1 -1 кватерніони -1 -1 +1 бікомплексні числа комутативні кватерніони -1 +1 -1 тессаріни ізоморфні бікомплексним числам -1 +1 +1 спліт-кватерніони -1 0 0 дуальні комплексні числа +1 +1 +1 гіперболічні кватерніони

+кватерніон / спліт-кватерніон i j ki −1 k −jj −k ∓1 ±ik j ∓i ∓1 | +бікомплексні / тессаріни i j ki −1 k −jj k ∓1 ∓ik −j ∓i ±1 | +гіперболічнийкватерніон i j ki 1 k −jj −k 1 ik j −i 1 | +дуальнекомплексне i j ki −1 k −jj −k 0 0k j 0 0

Ділення

Визначимо операції: — норма числа, — ділення чисел.

При можна визначити:

— спряжене число, .

Діагональний базис Якщо присутня інволюційна уявна одиниця то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

які можна використати як альтернативний базис:

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли чи рівні нулю.

Див. також Двовимірні гіперкомплексні числа

Джерела