Недезаргова площина — це проєктивна площина, яка не задовольняє теоремі Дезарга, іншими словами, яка не є дезарговою. Теорема Дезарга виконується у всіх проєктивних просторах розмірності, відмінної від 2Теорема Дезарга тривіально, але беззмістовно істинна в розмірності 1. Проблема виникає тільки в розмірності 2., тобто, для всіх класичних проєктивних геометрій над полем (або тілом), проте Гільберт виявив, що деякі проєктивні площини не задовольняють теоремі.
Приклади Деякі приклади є скінченними геометріями. Для скінченної проєктивної площини порядок на одиницю менший від числа точок на прямій (це константа для всіх прямих). Деякі приклади недезаргових площин:
Площина Молтона. Будь-яка проєктивна площина порядку, що не перевищує 8, є дезарговою, але існує три недезаргових площини порядку 9, кожна по 91 точці і 91 прямійдив. книгу Рума і Кіркпатрика з описом усіх чотирьох площин порядку 9. . над альтернативними тілами, які не є асоціативними, як, наприклад, проєктивна площина над октоніонами. . .
Класифікація За Вайбелем, Х. Ленц дав схему класифікації для проєктивних площин 1954 року і її допрацював А. Барлотті 1957 року. Ця схема класифікації ґрунтується на типах транзитивності точка-пряма, дозволених площини і відома як класифікація проєктивних площин Ленца — Барлотті. Список 53 типів дано в книзі Дембовскі. Таблиця відомих результатів про існування (для груп колінеації і площин, що мають такі групи колінеації) як для скінченного, так і нескінченного випадку, міститься на сторінці 126 книги. За словами Вайбеля, «36 із них існують як скінченні групи. Від 7 до 12 існують як скінченні проєктивні площини і 14 або 15 існують як нескінченні проєктивні площини.»
Існують і інші схеми класифікації. Одна з найпростіших схем базується на типі , яке можна використовувати для введення координат на проєктивній площині. Ці типи: поле, тіло, альтернативні тіла, , , , і .
Конічні перетини У дезарговій проєктивній площині конічний перетин можна визначити різними еквівалентними способами. У недезаргових площинах доведення еквівалентності виявляються хибними і різні визначення можуть дати нееквівалентні об'єкти. Остром Т. Г. запропонував назву конкоїд для цих подібних конічних перетинів фігур, але не навів формального визначення і термін, як видно, не набув поширення.
Існує кілька способів визначення конічних перетинів на дезаргових площинах:
Множина абсолютних точокУ просторі з полярністю (відображенням точок у прямі порядку два зі збереженням інцидентності) точка є абсолютною, якщо лежить на своєму образі, а пряма є абсолютною, якщо проходить через свій образ (точку). полярності відома як . Якщо площина визначена над полем характеристики два, отримаємо тільки . Множина точок перетинів відповідних прямих двох пучків, які проєктивно, але не перспективно, пов'язані, відома як . Якщо пучки перспективно пов'язані, перетин вироджений. Множина точок, координати яких задовольняють незвідному однорідному рівнянню другого степеня.
Крім того, на скінченній дезарговій площині:
Множина + 1 точок, ніякі три з яких не колінеарні в PG(2,), називають овалом. Якщо непарне, овал є конічним перетином у сенсі пункту 3 вище. Конічний перетин Острома ґрунтується на узагальненнях гармонічних множин.
Артці дав приклад конічних перетинів Штейнера на муфанговій площині, які не є перетинами фон Штаудта. Гарнер навів приклад конічного перетину фон Штаудта, який не є конічним перетином Острома на скінченній площині напівполя.
Примітки
Література