У математиці мрія другокурсника або мрія софомора ( — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:
Історія Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.
Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність . Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей.
Доведення Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.
Спочатку, подамо як:
.
Тоді
.
За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:
.
Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну . Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на , що дає нам:
.
За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:
,
тому:
.
Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.
Версії доведень Початкове доведення, яке дав БернулліJohann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381 і подане в сучасному вигляді, відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла , але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.
Примітки