Лема Сінга — ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною.
Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих.
Її використовував Джоном Сінгом.
Формулювання Нехай - геодезична в рімановому многовиді з додатною секційною кривиною і - паралельне поле дотичних векторів на . Тоді варіація в напрямку скорочує її довжину.
Точніше, якщо
і позначає довжину кривої тоді і .
Наслідки
Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією. Зокрема, Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні. Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані. Лему Сінга використовував також для доведення того, що, якщо і є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому многовиді з додатною секційною кривиною і , то і перетинаються.
Примітки