Двостороннє перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, тісно пов'язане з перетворенням Фур'є, перетворенням Мелліна, а також зі звичайним і одностороннім перетворенням Лапласа.
Визначення Якщо є дійсною або комплексною функцією дійсної змінної , то двостороннє перетворення Лапласа задається формулою
Інтеграл у цьому визначенні мається на увазі невласним і збіжним тоді, коли існують
Іноді двосторонні перетворення записують у вигляді
Загалом, змінна може бути як дійсною, так і комплексною величиною.
Зв'язок з іншими інтегральними перетвореннями
Якщо - функція Гевісайда, то звичайне перетворення Лапласа можна виразити через двостороннє формулою
І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою
Перетворення Мелліна можна виразити через двостороннє перетворення Лапласа формулою
І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою
Перетворення Фур'є можна визначити через двостороннє перетворення Лапласа формулою
У комплексному узагальненні лінійного канонічного перетворення двостороннє перетворення Лапласа можна розглядати як його частковий випадок, що відповідає повороту на 90° у комплексній області. Йому відповідає матриця
Властивості +Властивості перетворень Лапласа Часова область Одностороння область Двостороння область Перша похідна Друга похідна
Література
, Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980 van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987