В математиці ядро Феєра використовується для знаходження суми за Чезаро рядів Фур'є або перетворень Фур'є.
Означення
Ядро Феєра задається як:
де
— ядро Діріхле.
Ядра Феєра також можна записати через тригонометричні функції як:
Для точок значення функції Феєра є рівним , що є граничним значенням вказаних тригонометричних виразів у цих точках.
Назване на честь угорського математика Ліпота Феєра.
Доведення тригонометричної рівності
Ядро Діріхле рівне
Тому
Із використанням суми геометричної прогресії звідси:
Далі для уявної частини у попередніх формулах:
Із властивостей полярного запису комплексних чисел:
Підставляючи ці рівності у попередні формули:
Властивості
— -періодична, парна функція і для всіх Парність, -періодичність і додатність функції відразу випливає із тригонометричних виразів для функції. Із рівності для ядра Діріхле випливає, що і тому Рівність досягається лише у точках для яких всі тобто у точках
Ядро Феєра є рівним Проінтегрувавши цей вираз одержуємо
Якщо то
Якщо то Тому Для будь-якого фіксованого при також Із тригонометричного запису ядра Феєра через квадрати синусів для можна одержати обмеження:
Звідси
Очевидно цей вираз прямує до 0 при Інша границя доводиться аналогічно.
Співвідношення із рядом Фур'є Нехай — інтегровна на і -періодична функція, — часткові суми ряда Фур'є цієї функції, а — середнє арифметичне цих часткових сум, тобто . Тоді
Згідно теореми Феєра, якщо додатково є неперервною функцією, то рівномірно збігається до .
Ядро Феєра для інтеграла Фур'є
Ядро Феєра для інтеграла Фур'є визначається як:
Властивості ядра Феєра для інтеграла Фур'є
Для будь-якого фіксованого при виконується
Див. також
Ряд Фур'є Список тригонометричних тотожностей Теорема Феєра Ядро Діріхле
Посилання William Wu. Fourier Series and Fejer’s Theorem