Гомологічна сфера — n-вимірний многовид X з гомологіями як у n-вимірної сфери. Тобто
H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z), і
Hi(X,Z) = {0} за всіх інших i.
Приклади
Сфера Пуанкаре Сфери Бріскорна Σ(p, q, r), тобто перетин малої 5-вимірної сфери з розв'язком рівняння xp + yq + zr = 0 в за взаємно простих p, q і r. Вони є гомологічними сферами. При цьому Σ(1, 1, 1) гомеоморфне стандартній сфері, а Σ(2, 3, 5) сфері Пуанкаре. Якщо , то універсальне накриття Σ(p, q, r) гомеоморфне евклідовому простору,
Властивості
Гомологічна сфера зв'язна. Фундаментальна група гомологічної сфери збігається зі своїм комутатором. Нехай . Група є групою якоїсь n-вимірної гомологічної сфери тоді й лише тоді, колиMichel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72 : скінченно задана; ; . Група є групою якоїсь 4-вимірної гомологічної сфери, якщо задана рівним числом твірних і співвідношень, і . Невідомо, чи істинне зворотне. Зв'язна сума двох гомологічних сфер — це гомологічна сфера. Згідно з узагальненою гіпотезою Пуанкаре, однозв'язна гомологічна сфера гомеоморфна стандартній сфері.
Варіації та узагальнення
Раціонально гомологічна сфера визначається аналогічно, але з використанням гомологій з раціональними коефіцієнтами.
Див. також Сфера Пуанкаре Многовид Бріскорна
Примітки