В алгебрі (розділі математики) багато алгебраїчних структур мають тривіальні, тобто найпростіші об'єкти. Як множини, вони складаються з одного елементу, що позначається символом «0», а сам об'єкт — «{0}» або просто «0» залежно від контексту (наприклад, в точних послідовностях). Об'єкти, відповідні тривіальним випадкам, важливі для уніфікації міркувань: наприклад, зручніше сказати, що «рішення рівняння завжди складає лінійний простір», ніж робити застереження «... або множина {0}».
Найважливішими з таких об'єктів є:
Тривіальна група, найпростіша з груп. Є також найпростішою з абелевих груп, і всі перелічені нижче об'єкти наслідують її структуру, відому як додавання Тривіальне кільце, найпростіше з кілець.
Нульовий (тривіальний) модуль, найпростіший з модулів над заданим кільцем . Нульовий лінійний простір над полем , найпростіший з лінійних просторів. Нульова алгебра, найпростіша з алгебр над кільцем або над полем .
У трьох останніх випадках множення на скаляр визначається як , де .
Будь-яка нульова алгебра також тривіальна як кільце. Нульова алгебра над полем є нульовим лінійним простором, а над кільцем — нульовим модулем.
Трактування за допомогою теорії категорій
З точки зору теорії категорій, тривіальний об'єкт є термінальним, а іноді (в залежності від визначення морфізму) нульовим (тобто одночасно термінальним і початковим) об'єктом.
Тривіальний об'єкт єдиний з точністю до ізоморфізму.
Термінальність тривіального об'єкта означає, що морфізм існує і єдиний для будь-якого об'єкта в категорії. Цей морфізм показує будь-який елемент об'єкта в . 2↕ = [ ]<0 ↔1 ^0 ↔1 Елемент нульового простору, записаний як порожній вектор-стовпець (праворуч), помножений на порожню матрицю 2×0 для отримання 2-вимірного нульового вектора (зліва). З дотриманням правил множення матриць У категоріях Rng (кілець без обов'язкової одиниці), і Vect, тривіальне кільце, нульові модулі й простір відповідно є нульовими об'єктами. Нульовий об'єкт визначається як початковий, тобто морфізм існує і єдиний для будь-якого об'єкта в категорії. Цей морфізм показує , єдиний елемент об'єкта , де . Це мономорфізм, і його образ (підмодуль/підпростір в породжений нулем елементів) ізоморфний {0}.
Структури з одиницею У (нейтральним елементом множення) все не так однозначно. Коли визначення морфізму в категорії вимагає їхнього збереження, тривіальний об'єкт або є тільки термінальним (але не початковим), або відсутній зовсім (наприклад, коли визначення структури вимагає нерівність ).
У категорії Ring кілець з одиницями, кільце цілих чисел Z початковий об'єкт, а не {0}.
Див. також
Синґлетон Тривіальність Математичний об'єкт
Посилання