У математиці абстрактний многогранник, неформально кажучи, це структура, яка враховує тільки комбінаторні властивості традиційних многогранників і ігнорує багато інших їхніх властивостей, таких як кути, довжини ребер тощо. При цьому не потрібна наявність будь-якого простору, що містить многогранник, такого як евклідів простір. Абстрактне формулювання реалізує комбінаторні властивості як частково впорядковану множину (далі посетposet = partially ordered set = частково впорядкована множина).
Абстрактне визначення дозволяє деякі більш загальні комбінаторні структури, ніж традиційна концепція многогранника, і допускає багато нових об'єктів, що не мають аналога в традиційній теорії.
Традиційні многогранники в порівнянні з абстрактними В геометрії Евкліда шість чотирикутників, наведених на малюнку вище, різні. Все ж вони мають щось спільне, що відрізняє їх від трикутника або куба, наприклад.
Елегантна, хоча географічно неточна, надає всю відповідну інформацію як проїхати з пункту A в пункт B. Ще один приклад — електрична принципова схема. За нею кінцеве розташування проводів і елементів часто з першого погляду визначити неможливо.
У кожному такому прикладі зв'язки між елементами ті ж самі і не пов'язані з фізичним розташуванням. У цьому випадку кажуть, що об'єкти комбінаторно еквівалентні. Ця еквівалентність і укладена в поняття абстрактного многогранника. Таким чином, комбінаторно наші шість чотирикутників «ті ж самі». Кажучи строгіше, вони ізоморфні або «зберігають структуру».
Властивості, зокрема вимірні, традиційних многогранників, такі як кути, довжина ребер, несиметрія і опуклість несуттєві для абстрактних многогранників. Інші традиційні поняття можуть розглядатися, але не завжди таким самим чином. Може трапитися, що деяке судження, істинне для традиційних многогранників, може бути хибним для абстрактних, і навпаки. Наприклад, традиційні многогранники правильні, якщо всі їхні грані і вершинні фігури правильні, але це не стосується абстрактних многогранників .
Вступні поняття Для визначення абстрактних многогранників слід увести кілька понять.
У цій статті многогранник означає абстрактний многогранник, якщо не зазначено явно інше. Термін традиційний використовується для посилань на те, що зазвичай розуміється під многогранниками за винятком власне абстрактних многогранників. Іноді використовуються терміни класичний або геометричний.
Многогранники як частково впорядковані множини Зв'язки на схемі залізниці або електричній схемі можна подати просто «точками і лініями», тобтографом. Многогранники, однак, мають ієрархію за розмірністю. Наприклад, вершини, ребра і грані куба мають розмірності 0, 1 і 2 відповідно. Сам куб є 3-вимірним.
У цій абстрактній теорії поняття рангу замінює поняття розмірності. Це поняття формально визначено нижче.
Поняття грань використовується для будь-яких елементів будь-якого рангу, наприклад вершин (ранг 0) або ребер (ранг 1), а не тільки граней рангу 2. Елемент рангу k називається k-гранню.
Можемо тоді визначити многогранник як множину граней P з відношенням порядку <, яке задовольняє додатковим аксіомам. Формально, P (з відношенням порядку <) буде (строго) частково впорядкованою множиною (посет).
Якщо F < G, ми кажемо, що F є підгранню G (або G має підгрань F).
Ми кажемо, що F і G інцидентні, якщо або F = G, або F < G, або G < F. Це значення відрізняється від традиційного використання в геометрії та інших галузях математики. Наприклад, у квадраті abcd, ребра ab і bc НЕ інцидентні.
Найменші і найбільші грані Так само як поняття нуля і нескінченності є необхідними в математиці, такі ж поняття корисні для абстрактних многогранників — вважається що будь-який многогранник має найменшу грань, яка є підгранню всіх інших, і найбільшу грань, для якої всі інші грані є підгранями.
Фактично, многогранник може мати лише одну грань. В цьому випадку найменша і найбільша грані збігаються.
Найменшу і найбільшу грані називають невласними. Всі інші грані називають власними.
Найменшу грань називають порожньою гранню, оскільки вона не має вершин (або будь-яких інших граней) як підграней. Оскільки найменша грань міститься нижче за рівнем від вершин (граней нульового рангу), її ранг дорівнює -1. Ми позначаємо цю грань як F−1. Якщо це здається на перший погляд дивним, це почуття швидко зникає, коли розумієш, яку симетрію це поняття вносить у теорію. (Історично, математики противились таким поняттям, як від'ємні числа, дробові, ірраціональні і комплексні числа, і навіть нуль!)
Простий приклад Як приклад тепер створимо абстрактний квадрат з гранями як у таблиці: Тип грані Ранг (k) Число k-грані Найменша -1 1 F −1 Вершини 0 4 a, b, c, d Ребра 1 4 W, X, Y, Z Найбільша 2 1 G Відношення < визначається як множина пар, яка (для цього прикладу) включає
F−1<a, … , F−1<X, … , F−1<G, … , b<Y, … , c<G, … , Z<G.
У цьому прикладі ми могли б записати ребра W, X, Y і Z як ab, ad, bc і cd відповідно, і ми будемо часто використовувати такий варіант запису. Але, як ми незабаром побачимо, така система запису не завжди прийнятна.
Ми називаємо отриману фігуру квадратом, а не чотирикутником (або чотирибічником), оскільки в нашому абстрактному світі немає кутів і ребра не мають довжин. Всі чотири ребра ідентичні і «геометрія» в кожній вершині однакова.
Відношення порядку транзитивні, тобто з F < G і G < H випливає, що F < H. Таким чином, для опису ієрархії граней немає необхідності задавати всі випадки F < H, досить вказати для кожного елемента наступний елемент, тобто коли F < H і немає такого G, для якого F < G < H.
Діаграма Гассе
Малі посети, і многогранники зокрема, часто добре візуалізуються за допомогою діаграми Гассе, як показано на рисунку. Зазвичай грані однакового рангу розміщуються на одному горизонтальному рівні. Кожна лінія між гранями відповідає парі F, G, такій що F < G, де F міститься на діаграмі нижче, ніж G.
Многогранник часто малюють неформально як граф. Граф має вершини і ребра, але не має граней. Мало того, для більшості многогранників неможливо отримати всі інші грані з графу, і, в загальному випадку, різні многогранники можуть мати один граф.
Діаграма Гассе, з іншого боку, повністю описує будь посет — всі структури многогранників покриваються діаграмами Гассе. Ізоморфні многогранники дають ізоморфні діаграми Гассе і навпаки.
Ранг Ранг грані F визначають як ціле (m − 2), де m — максимальна кількість граней в будь-якому ланцюжку (F', F", … , F), що задовольняє F' < F" < … < F.Ранг посета P — це максимальний ранг n будь-якої грані, тобто ранг максимальної грані (як зазначено вище, будь-який многогранник має максимальну грань). У цій статті ми завжди використовуємо n для позначення рангу посета або многогранника.
Звідси випливає, що найменша грань, і ніяка інша, має ранг -1, а найбільша грань має ранг n. Ми позначаємо їх як F−1 і Fn відповідно.
Ранг грані або многогранника зазвичай відповідає розмірності аналога в традиційній теорії, але не завжди. Наприклад, грань рангу 1 відповідає ребру, яке має розмірність 1. Але просторовий многокутник у традиційній геометрії 3-вимірний, оскільки він не плоский. В абстрактному еквіваленті такий многокутник залишається абстрактним многокутником рангу 2.
Для деяких рангів існують назви типів граней. Ранг-10123…n — 2n — 1nТип межіНайменшаВершинаРебро†КоміркаГіперреброГіперграньНайбільша † Хоча традиційно під «гранню» розуміють грань рангу 2, ми завжди будемо писати «2-грань», щоб уникнути двозначності і залишаємо термін «грань» для позначення грані будь-якого рангу.
Відрізок
Відрізок — це посет, що має мінімальну грань, рівно дві 0-грані і найбільшу грань, наприклад {∅, a, b, ab}. Звідси випливає, що вершини a і b мають ранг 0, а найбільша грань ab, а тому й сам посет, мають ранг 1.
Прапори Прапор — це максимальний ланцюжок граней, тобто (повністю) впорядкована множина Ψ граней, у якій кожна грань є підгранню наступної (якщо така є), і така, що Ψ не є підмножиною будь-якого більшого ланцюжка.
Наприклад, { ∅ , a, ab, abc} є прапором у трикутнику abc.
Ми будемо додатково вимагати, щоб для даного многогранника всі прапори містили однакове число граней. Посети, в загальному випадку, не задовольняють цим вимогам. Посет {∅ , a, b, bc, abc} має 2 прапори нерівного розміру, а тому не є многогранником.
Ясно, що якщо є дві різні грані F, G у прапорі, то або F < G або F > G.
Секції
Будь-яка підмножина P' посета P є посетом (з тим самим відношенням <, обмеженим на P').
Зокрема, якщо дано дві грані F, H посета P, де F ≤ H, множина {G | F ≤ G ≤ H} називають секцією посета P і позначають H/F. (У термінології теорії порядку секція має назву замкнутого інтервала посета і позначається [F, H], але поняття ідентичні).
Таким чином, P є секцією себе.
Наприклад, у призмі abcxyz (див. малюнок) секція xyz/ø (виділено зеленим кольором) є трикутником
{ ∅ , x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.
k-секція — це секція рангу k.
Многогранник, який є підмножиною іншого многогранника, не обов'язково є секцією. Квадрат abcd є підмножиною тетраедра abcd, але не є його секцією.
Поняття секції не має того самого значення в традиційній геометрії.
Вершинні фігури
Вершинна фігура в заданій вершині V — це (n−1)-секція Fn/V, де Fn є найбільшою гранню.
Наприклад, у трикутнику abc вершинною фігурою в b, abc/b, є {b, ab, bc, abc}, тобто відрізок. Вершинними фігурами куба є трикутники.
Зв'язність Посет P є зв'язним, якщо ранг P ≤ 1, або для будь-яких двох власних граней F і G існує послідовність власних граней: H1, H2, … , Hk
така, що F = H1, G = Hk і кожна грань Hi, i < k інцидентна попередній грані.
Умова вище забезпечує, що пара окремих трикутників abc і xyz не є (єдиним) многогранником.
Посет P є строго зв'язним, якщо будь-яка секція P (включно з самим P) зв'язна.
З цією додатковою вимогою виключаються дві піраміди, що мають спільну вершину. Однак дві квадратні піраміди, наприклад, можуть бути «склеєні» квадратними гранями, що дає октаедр. У цьому випадку «спільна грань» не є гранню октаедра.
Формальне визначення Абстрактний многогранник — це частково впорядкована множина, елементи якої ми називаємо гранями, що задовольняє таким чотирьом аксіомам:
Він має найменшу грань і найбільшу грань. Всі прапори містять одне і те саме число граней. Він строго пов'язаний. Будь-яка 1-секція є відрізком.
n-многогранник є многогранником рангу n.
Примітки У разі порожнього многогранника найменша і найбільша грані є одним і тим самим єдиним елементом.
Аксіома 2 еквівалентна твердженню, що посет є градуйованим посетом.
Якщо виконуються інші аксіоми, аксіома 3 еквівалентна строгій зв'язності прапорів, що неформально означає:
Для будь-якої секції многогранника (включно з самим многогранником) будь-який прапор можна змінити в будь-який інший змінюючи лише одну грань за крок.
Аксіома 4 відома як «властивість діаманту», оскільки на діаграмі Гассе відрізок подається чотирикутником (діамантом).
З аксіом можна показати, що будь-яка секція є многогранником і що Rank(G/F) = Rank(G) − Rank(F) − 1.
Найпростіші многогранники
Ранг < 2 Є лише по одному многограннику з рангами -1, 0 і 1, і це, відповідно, порожній многогранник, точка і відрізок.
Для n ≤ 1 всі n-секції многогранника є (унікальними) n-многогранниками. Однак грані рангу 0 і 1 многогранника називають вершинами і ребрами відповідно.
Ранг 2 Для будь-якого p, 3 ≤ p < є абстрактний еквівалент традиційного многокутника з p вершинами і p ребрами, p-кутник. Для p = 3, 4, 5, … ми отримуємо трикутник, квадрат, п'ятикутник, ….
Для p = 2 ми отримаємо двокутник, а для p = — апейрогон.
Дигон
Дигон — це многогранник з двома ребрами, що й відповідає назві. На відміну від інших многокутників, обидва ребра мають дві спільні вершини. З цієї причини він вважається виродженим.
Досі ми використовували для визначення граней «вершинну нотацію», наприклад. {∅, a, b, c, ab, ac, bc, abc} для трикутника abc. Цей метод має певну перевагу перед заданням відношення <.