Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на . Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.
Формулювання теореми
Начерк доведення
Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку Площа більшої фігури дорівнює Площа меншої фігури дорівнює Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює Отримуємо Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .
Повне доведення монотонна на
отже збігається
нестрого монотонно зростає
Позначимо
границі і — скінченні числа, отже і обмежені (ідея)
Нехай збігається інтеграл обмежена обмежена
Нехай тепер збігається сума обмежена , оскільки якщо функція невід'ємна на деякому півінтервалі , то для збіжності інтеграла необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли , де були обмеженими. Теорему доведено.
Приклади розбіжний, оскільки . збіжний, оскільки .
Оцінка залишку ряду Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу
за допомогою нескладних перетворень отримуємо:
.
Джерела