У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів , які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.
Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.
Матриця переходу
Означення Матрицею переходу в -вимірному просторі від базису до базису називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів у базисі .
А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо є базисом):
.
Тоді матриця переходу має вигляд:
Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:
Властивості
Матрицею переходу від довільного базису до самого себе є одинична матриця. Якщо , і є трьома базисами одного векторного простору і є матрицею переходу від до базису а є матрицею переходу від базису до базису , то матриця переходу від до є добутком цих матриць:
Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу: .
Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.
Перетворення координат вектора при зміні базису Нехай деякий довільний вектор виражається через вектори у базисах і як
і
Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:
Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:
Тобто якщо координати деякого вектора у базисі утворюють вектор стовпець , а у базисі утворюють вектор стовпець , то
Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця визначає перехід від базису до базису , то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі до координат у базисі . Тому матрицю можна також називати матрицею переходу від координат у базисі до координат у базисі .
У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці є координати у базисі . Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці будуть координати розкладів векторів із у базисі . Тому
.
Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.
Приклади
Два виміри У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:
Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю,і пояснення / доведення а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.
Три виміри
Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):
Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.
Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису Нехай задані векторні простори і над одним полем і для простору вибрані два базиси і а у просторі вибрані два базиси і Нехай і є відповідними переходами між базисами у двох просторах.
Якщо тепер є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями і . Якщо є довільним вектором, координати якого у базисах і можна записати за допомогою вектор стовпців і , то є вектором простору координати якого у базисах можна записати за допомогою вектор стовпців і .
У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:
Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів , то є однозначно визначеною матрицею відображення у базисах і :
Зокрема якщо і є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах і пов'язані співвідношенням:
.
У простіших позначеннях, якщо є матрицею перетворення у базисі , а є матрицею перетворення у базисі і , то:
.
Матриця білінійної форми Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення лінійне щодо обох аргументів. Тобто, білінійна, якщо відображення
лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.
Матриця Грама G, що відповідає базису визначена так
Якщо і це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так
Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.
Зміна базису Якщо задано два базиси і , є матрицею Грама у першому базисі, а є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу :
Джерела
Примітки