Теоремою Александера про передбази у топології називається твердження яке характеризує властивість компактності за допомогою передбази топології.

Твердження

Нехай є топологічним простором із передбазою . Якщо кожне покриття простору елементами із має скінченне підпокриття, тоді простір є компактним.

Доведення

Припустимо, що простір не є компактним але кожне покриття елементами із має скінченне підпокриття. Позначимо — сім'ю всіх відкритих покриттів простору , що не мають скінченних підпокриттів. За припущенням

На можна ввести відношення часткового порядку: для відношенення виконується якщо Для кожної лінійно впорядкованої підмножими елементів із існує верхня межа (очевидно є покриттям ). Тому, згідно леми Цорна, можна знайти відкрите покриття , що є максимальним елементом Тобто, якщо є відкритою підмножиною , яка не належить , тоді } має скінченне підпокриття, для якого є одним із елементів.

не є покриттям простору . Якби це було не так то це би було покриття елементами і згідно припущення із можна було б виділити скінченне підпокриття яке також було б скінченним підпокриттям із . Це суперечить означенню .

Отже існує елемент із , що не належить жодній із множин із . Оскільки є покриттям то для деякої відкритої множини . Оскільки є передбазою, то для деяких множин , згідно означення: .

Оскільки не належить жодній із множин із , то також для кожного . (Якщо для деякого i, тоді також і тому ). Із максимальності покриття , для кожного існує скінченна підмножина покриття для якої є скінченним покриттям простору . Позначимо об'єднання скінченних множин для всіх із 1 до n. Тоді для кожного скінченне покриття простору можна замінити на більше скінченне покриття . Для кожного скінченна множина є покриттям простору , тому також є покриттям . Але, як було вказано вище, де . Тому є скінченним покриттям елементами якого є множини із . Тобто для існує скінченне підпокриття, що суперечить вибору . Тобто для не існує покриттів відкритими множинами для яких не існує скінченних підпокриттів. Тобто є компактним простором.

Див. також

Компактний простір Передбаза топології

Посилання

Alexander's Subbasis Theorem на сайті Mathonline

Література