Розклад Енгеля додатного дійсного числа — єдина неспадна послідовність додатних натуральних чисел таких, що
Наприклад, константа Ейлера має такий розклад ЕнгеляNeil Sloane(ed.).«Sequence A028310» . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS Foundation.
що відповідає нескінченному ряду
Раціональні числа мають скінченний розклад Енгеля, а ірраціональні числа — нескінченний розклад Енгеля. Якщо — раціональне, його розклад Енгеля забезпечує подання у вигляді єгипетського дробу. Енгельські розклади названі на честь , який вивчав їх у 1913 році.
Розклад, аналогічний розкладу Енгеля, зі знакозмінними доданками називається розкладом Пірса.
Розклад Енгеля, неперервні дроби і Фібоначчі Краайкамп і Ву помітили, що розклад Енгеля також може бути записаний як висхідний варіант ланцюгового(неперервного) дробу:
Вони стверджують, що висхідні неперервні дроби, подібні до цього, вивчав ще Фібоначчі в Книзі Абака (1202). Це твердження, мабуть, посилається на позначення складних дробів Фібоначчі, в яких послідовність чисельників і знаменників, що використовують одну спільну риску дробу, представляють висхідний неперервний дріб:
Якщо в цьому позначенні всі чисельники рівні 0 або 1, як з'являється в деяких місцях у Книзі Абака, то результатом буде розклад Енгеля. Однак, схоже, розклад Енгеля, як загальна техніка, не описаний Фібоначчі.
Алгоритм для обчислення розкладів Енгеля Щоб знайти розклад Енгеля для числа , задамо
і
де — функція стелі (найменше ціле не менше ).
Якщо для деякого , то зупиняємо алгоритм.
Ітераційні функції для обчислення розкладів Енгеля Інший еквівалентний метод — розглянути функцію
і покласти
де
Ще один еквівалентний метод, який називається модифікованим розкладом Енгеля, — обчислення за допомогою функції
і
Оператор переміщення функції Енгеля Фробеніуса–Перрона функції Енгеля діє на функцію наступним чином:
оскільки
а інверсією n-ї компоненти є , що знайдений розв'язанням відносно .
Зв'язок з функцією Рімана Перетворення Мелліна функції пов'язане з — функцією Рімана за допомогою формули
Приклад Для знаходження розкладу Енгеля для числа виконаємо наступні кроки:
Отже,
а розклад Енгеля для числа має вигляд .
Розклад Енгеля раціональних чисел
Кожне додатне раціональне число має унікальний скінченний розклад Енгеля. В алгоритмі розкладу Енгеля, якщо є раціональним числом , то
Тому на кожному кроці чисельник ui у дробі, що залишається, зменшується, а тому процес побудови розкладу Енгеля повинен закінчуватися. Кожне раціональне число також має єдиний нескінченний розклад Енгеля: з використанням тотожності
останнє число в скінченному розкладі Енгеля можна замінити нескінченною послідовністю чисел без зміни його значення. Наприклад,
Це аналогічно тому, що будь-яке раціональне число зі скінченним десятковим представленням також має нескінченне десяткове представлення (див. ). Нескінченний розклад Енгеля з рівними доданками буде геометричним рядом.
Ердеш, Реній і Шуш поставили задачу про нетривіальні оцінки довжини скінченного розкладу Енгеля для раціонального числа , яка була розв'язана Ердошем і : було доведено, що кількість доданків у розкладі є для будь-якого .; .
Розклад Енгеля для деяких відомих констант
(послідовність A006784 в OEIS);
(послідовність A006784 в OEIS);
(послідовність A006784 в OEIS).
І в загальному випадку,
Швидкість зростання елементів розкладу Коефіцієнти розкладу Енгеля, як правило, демонструють експоненційне зростання; точніше, для майже всіх чисел на проміжку границя існує і дорівнює . Однак, підмножина інтервалу для якого це не виконується є достатньо великою, щоб її розмірність Хаусдорфа дорівнювала одиниці.. Ву приписував результат, що майже завжди границя дорівнює .
Така сама типова швидкість зростання застосовується до членів в розкладі утвореному . Однак множина дійсних чисел в інтервалі для яких розклади Енгеля збігаються з їх жадібними розкладами має міру нуля, а розмірність Хаусдорфа — ..
Примітки
Джерела
.
. .
. . .
Посилання