Будь-яка цифрова електронно-обчислювальна машина (скорочено ЕОМ) складається з логічних схем, які знаходяться в одному з двох станів - "логічний нуль" та "логічна одиниця". За логічні 0 та 1 можна прийняти будь-який вираз, у тому числі рядковий, який характеризується як "істина" або "хиба" (див. Булева алгебра).

У техніці 0 та 1 - це стан електричних схем з певними параметрами. Наприклад, для логічних елементів та схем, виконаних по технології транзисторно-транзисторної логіки, логічний 0 - це напруга у діапазоні 0...+4 В, а логічний 1 - це напруга у діапазоні +2,4...+5 В. Робота логічних схем описується посередництвом алгебри логіки (булевої алгебри), яка була розроблена Джорджем Булем (1845-1864) й є основою усіх методів спрощення булевих виразів.

Будь-яку інформацію можна представити за допомогою нулів та одиниць.

Інформаційна основа У світі окрім енергії та речовини існує ще одна субстанція — інформація. Спочатку під інформацією розумілися відомості, які передавалися між людьми усним, писемним або іншим шляхом. Після робіт Н. Вігнера стало ясно, що інформаційні взаємодії існують не лише між людьми, але й властиві усім живим й неживим об'єктам. Нині вважається, що інформаційні взаємодії складають основу управління у системах будь-якої природи. При цьому розрізняють синтаксичний, семантичний і прагматичний аспекти інформації. Синтаксична сторона інформації характеризує план її виразу, склад, структуру, складність й організованість. Семантичний аспект інформації характеризує її змістове наповнення, зіставність з декотрими еталонними об'єктами та явищами. Прагматична сторона інформації характеризує її здатність впливати на процеси управління у системі з точки зору її цінності, корисності, або шкідливості, тобто ефект, який виникає внаслідок інформаційної взаємодії.

Інформація здатна змінювати фізичний вид її носія у процесі передачі від керуючої системи до керовного об'єкта (наприклад, голос, електромагнітні коливання, знову звукові сигнали голосу тощо). Інформація не підпорядковується законам збереження (вона не зменшується у джерела; її можна віддати, але не завжди можна забрати). Швидкість протікання інформаційних процесів не обмежена законами, які властиві матеріальним процесам. Також інформація здатна забезпечити випереджуюче відображення дійсності. Для інформації характерний "несиловий" спосіб впливу, коли відносно слабкі фізичні сигнали, які несуть інформацію, здійснюють сильний вплив на керовані процеси, який не пов'язаний з їх власною енергетикою.

Інформація завжди пов'язана із матеріальним об'єктом (наприклад, папером, магнітною стрічкою тощо) або фізичним процесом (наприклад, електричним струмом, звуковою або електромагнітною хвилею тощо), які є її носіями. Інформація пов'язується з носієм через змінювання його певної властивості. Змінювання властивості матеріального об'єкта або фізичного процесу називається сигналом (слово сигнал утворене від англійського слова sign, що означає "знак"). Сигнал є способом відтворення інформації. Інформація отримується як реєстрація сигналу.

Вибір того чи іншого способу представлення інформації означає вибір певної мови. Мова програмування — знакова система для планування поведінки машини. Знакова система — сукупність узгоджень, які визначають набір знакових ситуацій. Знакова ситуація — первинне поняття семіотики, її елементами є знак та денотат. Знак — це позначення або ім'я, денотат — значення, зміст.

Основу будь-якої мови складає алфавіт - впорядкована сукупність усіх різних знаків мови. Кількість знаків, з яких складається алфавіт, іноді називають його потужністю.

У процесі передавання чи зберігання інформації часто доводиться переходити від одного способу подання інформації до іншого, тобто з однієї мови на іншу. Перетворення символів одного алфавіту на символи іншого алфавіту за певними правилами називається кодуванням, а результат цього перетворення - кодом.

Алгоритм задає машині точну інструкцію про виконання у певному порядку декотрої системи операцій, які дозволяють вирішити сукупність задач певного класу. Будь-який алгоритм подає процес розв'язування задачі як послідовність відокремлених простих дій. Дії виконуються почергово, одна за одною, в усталеному порядку. Ця властивість алгоритму називається дискретністю. Алгоритм приводить від початкових даних до шуканого результату через скінченну кількість кроків (дій); при цьому дані варіюються у відомих межах.

Найбільш "інваріантною" частиною для усіх існуючих у математиці уточнень поняття алгоритму є клас частково рекурсивних арифметичних функцій (під частково арифметичною функцією розуміється часткове відображення із скінченної декартової степені множини натуральних чисел з у ).

Багато різних алгоритмів розглядаються у алгебрі та теорії чисел, а також у інших математичних дисциплінах. Наприклад, найпростіші алгоритми — правила, за якими виконуються арифметичні дії, алгоритм Евкліда, алгоритм взяття квадратного кореня та алгоритм обчислення визначників n-го порядку, правило Саррюса — алгоритм для обчислення визначників 3-го порядку, алгоритм обчислення рангу матриць, алгоритм визначення числа дійсних коренів алгебричного рівняння — правило Штурма тощо.

Проектування алгоритму має ієрархічну структуру і розпочинається з вершини ієрархії.

Таку структуру алгоритму називають також модульною, тому що кожна його підзадача становить собою модуль. Модуль - логічна частина алгоритму, яка є відносно незалежною, має певне цільове призначення і вирішує лише одну чітко сформульовану задачу.

Було доказано відсутність алгоритму для рішення ряду масових задач. Наприклад, академік П. С. Новіков доказав відсутність якого-небудь алгоритму для рішення проблеми тотожності у теорії груп.

Фізичні основи На рівні частинок квантові системи описуються операторами, які належать декотрій алгебрі або супералгебрі Лі. Під квантуванням, починаючи з Н. Бора, розуміють деформацію з параметром деформації алгебри функцій (спостережуваних) на гладкому многовиді , наділеною дужкою Пуасона. Тобто квантування - це клас алгебр операторів параметризований параметром Причому для усіх значень параметра деформації , відмінних від нуля, це алгебра (самоспряжених) операторів, діючих у гільбертовому просторі а при ця алгебра збігається з алгеброю операторів множення на функції з початкової пуасонової алгебри функцій на задному многовиді яку називають алгеброю класичних спостережуваних, тобто При цьому, якщо на многовиді діяла група симетрій (пуасонівська група із пуасонівською дією), то ця дія зберігалася й на усіх алгебрах класу деформації

Нехай - векторний суперпростір розмірності над полем тобто такий -градуйований векторний простір, що Степінь елемента дорівнює (що записується ), якщо Супералгеброю є довільна -градуйована алгебра тобто така алгебра, що для усіх

Супералгебра над полем (зокрема, над полем комплексних чисел ) із добутком називається супералгеброю Лі, якщо цей добуток задовільняє аксіомам:

Добутком у супералгебрі Лі зазвичай називається дужка або суперкомутатор. Довільну асоціативну супералгебру (із добутком ) можна перетворити на алгебру Лі, якщо дужку задати формулою на односторонніх елементах й продовжити по лінійності на усю супералгебру.

Розгляньмо модель із внутрішньою Лі-груповою динамікою на кристалічній ґратці, яка описується гамільтоніаном:

де

де - спрощене позначення вузла кристалічної ґратки, - зовнішні поля, - взаємодія. Оператори характеризують різні властивості квантових систем і можуть бути операторами енергії певного рівня, спіновими операторами, операторами числа частинок, операторами електричного дипольного моменту тощо. Поля які відповідають цим операторам є величинами енергій, магнітних полів, хімічних потенціалів, електричних полів. Оператори задовільняють комутаційним співвідношенням

й визначають алгебру (супералгебру) Лі на вузлі Алгебра (супералгебра) Лі задає внутрішню Лі-групову динаміку квантової системи. Якщо є супералгеброю Лі, то дужка визначається співвідношенням

де коефіцієнт залежить від парності операторів

Твердотільна електроніка У твердотільній мікроелектроніці розмір активної області приладів та пристроїв складає одиниці мікрон (1 мкм = м = ). Їхній енергетичний спектр з деяким ступенем точності можна вважати неперервним, оскільки відстань між сусідніми енергетичними рівнями (енергія розмірного квантування) має порядок де - характерний розмір області локалізації носіїв заряду, - їхня ефективна маса. Якщо вважати то

Тут - рідберґ, - борівський радіус. Таким чином, енергія розмірного квантування у таких пристроях набагато менша теплової енергії носіїв заряду за кімнатної температури (). Тому при описі фізичних явищ, пов'язаних із транспортом носіїв заряду у пристроях мікроелектроніки, таких, як діоди, транзистори, інтегральні мікросхеми тощо, можна обмежитися квазікласичним наближенням у фізиці твердого тіла.

На відміну від мікроелектроніки, у твердотільній наноелектроніці розмір активної області приладів та пристроїв складає декілька нанометрів (). Через таке просторове обмеження носіїв заряду у їх структурах енергія розмірного квантування має порядок Ця величина порівняна до ширини забороненої зони типових напівпровідників й на порядок перебільшує теплову енергію носіїв заряду за кімнатної температури. Відтак ефекти розмірного квантування будуть відігравати суттєву роль, визначаючи основні електрофізичні властивості напівпровідникових наноструктур.

Інструментом вивчення фізичних процесів, які відбуваються у пристроях наноелектроніки, є квантова механіка. Нині, в основному, пристрої та прилади базуються на напівпровідникових гетероструктурах. Провідність, теплопровідність та термоелектричні властивості матеріалів у зонній теорії пояснюються за допомогою розсіяння електронів на дефектах і коливаннях кристалічної ґратки (див. Ланцюг Тоди). Зонна теорія важлива для розуміння принципу дії різноманітних електронних пристроїв.

Вивчення ефекту електронного вітру сильно пов'язане із використанням напівпровідникових приладів, оскільки збільшення їх розмірів призводить до появи ефекту електронного вітру. У зв'язку із цим у напівпровідникових пристроях починають виникати зони із аномальним опором, що іноді призводить до їх перегрівання й виходу з ладу.

Наносистемотехніка - сукупність методів моделювання, проектування й конструювання виробів різного функціонального призначення, у тому числі наноматеріалів, мікро- та наносистем із використанням квантоворозмірних, кооперативно-синергетичних, гігантських ефектів й інших явищ та процесів, які проявляються в умовах матеріальних об'єктів із нанометричними характеристичними розмірами.

Перспективним напрямком є магноніка та спінтроніка. Наприклад, щоб здійснити квантування спінових хвиль потрібно пов'язати компоненти магнітного моменту феромагнетику із операторами народження й поглинання спінових хвиль (див. Спін).

Спеціальний захист. Чутливість мікросхем до локальних радіаційних ефектів характеризується величиною перетину ефекту (см2) — відношенням загальної кількості збоїв до флюенсу частинок, величиною порогових лінійних втрат енергії йону (МеВ см2/мг), величиною порогової енергії протонів (МеВ), починаючи з якої спостерігається поява локальних радіаційних ефектів у інтегральних схемах.

Залежність перетину одиночних збоїв від порогових лінійних втрат енергії (для йонів) описується із використанням апроксимації функцією Вейбулла

де - перетин насичення, - параметри апроксимації, які не мають фізичного змісту.

З метою якісної оцінки ефективності застосування схемотехнічних методів підвищення стійкості до впливу окремих ядерних частинок обґрунтоване використання як характеристик стійкості параметрів, пов'язаних із фізичними характеристиками елементів: ефективний об'єм чутливої області елемента й критичний заряд, який обчислюється за формулою: