Метрика або функція відстані в математиці, — це функція, яка визначає відстань між кожною парою елементів множини. Множина з метрикою називається метричним простором. Метрика індукує топологію на множині, але не всі топології можуть бути породжені метрикою.Топологічний простір, чия топологія описана метрикою називається метризовним.
Важливим джерелом метрик в диференціальній геометрії є метричний тензор, білінійні форми, якого можуть бути визначені як скаляр на дотичних векторах на диференційовному многовиді. За допомогою метричного тензору через інтегрування можна визначити довжину кривих і тим самим задати метрику. Однак, не кожну метрику можна отримати з метричного тензору у такій спосіб.
Визначення Метрика множині X — це функція (називають функція відстані або просто відстань)
,
де — множина невід'ємних дійсних чисел і для всіх , виконуються наступні умови:
| style="width:20px" |1. | style="width:250px" | |не від'ємність |- |2. | |тотожність |- |3. | |симетричність |- |4. | |субадитивність або нерівність трикутника
Умови 1 та 2 визначають додатньо-визначену функцію. Метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє більш сильному варіанту нерівності трикутника, коли немає точок між іншими точками:
для всіх
Метрика d на X називається внутрішньою метрикою, якщо будь-яку пару точок x та y в X можна з'єднати кривою з довжиною довільно близькою до d(x, y).
Для множин, на яких визначено додавання + : X × X → X, d називають трансляційною інваріантною метрикою, якщо
для всіх .
Див. також Повний метричний простір