Конус в топології — топологічний простір, що одержується з вихідного простору стягненням підпростору його циліндра () в одну точку, тобто, фактор-простір . Конус над простором позначається .
Якщо - компактна підмножина евклідового простору, то конус над є гомеоморфним об'єднанню відрізків з у деяку точку простору, тобто, означення топологічного конуса узгоджується з означенням геометричного конуса. Однак топологічний конус є більш загальною конструкцією.
Приклади Конус над точкою дійсної прямої — інтервал . Конус над інтервалом дійсної прямої — трикутник (2 -симплекс). Конус над многокутником — піраміда з основою . Конус над кругом — класичний конус (заповнений всередині). Конус над колом — бокова поверхня конуса над кругом: , що є гомеоморфною кругу. У загальному випадку конус над гіперсферою є гомеоморфним замкнутій -вимірній кулі. Конус над -симплексом є -симплексом.
Властивості Конус може бути сконструйований як циліндр постійного відображення . Всі конуси є лінійно зв'язними, оскільки будь-яку точку можна з'єднати з вершиною. Більш того, будь-який конус є стягуваним до вершини за допомогою гомотопії, що задається формулою . Якщо є компактним і гаусдорфовим, то конус можна подати як простір відрізків, що з'єднують кожну точку з єдиною точкою; якщо не є компактним або гаусдорфовим, то це не так, оскільки в загальному випадку топологія на фактор-просторі буде сильнішою, ніж на множині відрізків, що з'єднують з точкою. В алгебричній топології конуси широко застосовуються завдяки тому, що за їм допомогою простір вкладається в стягуваний простір; в зв'язку з цим також важливим є наступний результат: простір є стягуваним тоді і тільки тоді, коли він є ретрактом свого конуса.
Конічний функтор Відображення породжує конічний функтор над категорією топологічних просторів .
Редукований конус Наведений конус - конструкція над топологічними просторами із виділеною точкою : .
Природне вкладення дозволяє розглянути будь-який топологічний простір із виділеною точкою як замкнуту підмножина свого редукованого конуса.
Див. також
Джойн (топологія) Конус (алгебрична геометрія) Надбудова (топологія) Стягуваний простір
Література Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. and